Sifat-Sifat Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai sifat-sifat logaritma. Oleh karena itu, setelah mempelajari topik ini, diharapkan nanti kita dapat:

• Menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menentukan nilai atau menulis kembali bentuk logaritma.
• Menggunakan sifat-sifat logaritma untuk mengekspansi atau menggabungkan bentuk logaritma.
• Menggunakan Rumus Ubah Basis untuk menulis kembali dan menentukan nilai bentuk logaritma.
• Menggunakan fungsi logaritma untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Kita telah mengetahui bahwa fungsi logaritma dengan basis a merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial dengan basis a. Sehingga, logis jika sifat-sifat eksponen berkorespondensi dengan sifat-sifat logaritma. Misalkan, sifat eksponensial a^ua^v = a^{u + v} berkorespondensi dengan sifat logaritma log_a(uv) = log_a u + log_a v.

---

Sifat-Sifat Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif sedemikian sehingga a ≠ 1, dan misalkan n adalah bilangan real. Jika u dan v adalah bilangan real positif, maka sifat-sifat berikut ini benar.

1. log_a(uv) = log_a u + log_a v (Sifat Perkalian)
2. log_a(u/v) = log_a u – log_a v (Sifat Pembagian)
3. log_a uⁿ = n log_a u (Sifat Perpangkatan)

---

Pembuktian Kita menggunakan sifat fungsi invers, yaitu log_a a^x = x.

Sifat 1 Misalkan log_a u = x dan log_a v = y. Jika kita menuliskan bentuk ini ke dalam bentuk eksponensial, kita mendapatkan

Sehingga,

Sifat 2 Dengan menggunakan Sifat 1, kita peroleh

Sehingga,

Sifat 3 Misalkan log_a u = x. Maka a^x = u, sehingga

---

Contoh 1: Menggunakan Sifat-Sifat Logaritma

Tentukan nilai dari masing-masing bentuk berikut ini.

1. log₄ 2 + log₄ 32
2. log₂ 80 – log₂ 5
3. –1/3 log 8

Pembahasan Pertama, kita tentukan nilai log₄ 2 + log₄ 32 seperti berikut.

Selanjutnya, kita gunakan Sifat 2 untuk menyelesaikan soal yang kedua.

Terakhir, kita gunakan Sifat 3 untuk menentukan nilai bentuk logaritma pada soal ketiga.

Halaman: 1 2 3 4

Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari invers fungsi eksponensial. Oleh karena itu, setelah mempelajari hal tersebut, kita akan bisa:

• Mengenali dan menentukan nilai fungsi-fungsi logaritma dengan basis a.
• Menggambar grafik fungsi logaritma.
• Mengenali, menentukan nilai, dan menggambar grafik fungsi logaritma umum.
• Mengenali, menentukan nilai, dan menggambar grafik fungsi logaritma natural.
• Menggunakan fungsi logaritma untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan log_a.

Fungsi invers f^–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.

---

Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan log_a, didefinisikan dengan

Sehingga log_a x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.

---

Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma log_a x = y menjadi bentuk eksponensial a^y = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

Halaman: 1 2 3 4 5 6 7

Fungsi Eksponensial dan Grafiknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari fungsi eksponensial. Misalnya,

merupakan fungsi eksponensial yang memiliki basis 2. Perhatikan bahwa fungsi ini naik/bertambah dengan sangat cepat.

Jika kita bandingkan fungsi ini dengan fungsi g(x) = x² yang menghasilkan g(30) = 900, kita dapat melihat bahwa jika variabel fungsi berada dalam eksponen, maka perubahan kecil pada variabel akan menyebabkan perubahan yang dramatis dalam nilai fungsi.

Secara garis besar, kita nanti akan mempelajari empat hal sebagai berikut:

• Mengenali dan menentukan nilai fungsi eksponensial dengan basis a.
• Menggambar grafik fungsi eksponensial dan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu.
• Mengenali, menentukan nilai, dan menggambar grafik fungsi eksponensial dengan basis e.
• Menggunakan fungsi eksponensial untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Fungsi Eksponensial

Untuk mempelajari fungsi eksponensial, pertama kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan bentuk eksponensial a^x dengan x adalah sebarang bilangan real. Dalam pembahasan ini kita sudah tahu definisi a^x untuk a > 0 dan x adalah bilangan rasional, yaitu

Akan tetapi bagaimana jika x adalah bilangan irasional? Berapakah nilai dari 5^√3 atau 2^π? Untuk mendefinisikan a^x ketika x adalah bilangan irasional, kita dekati x dengan menggunakan bilangan rasional.

Misalkan, karena

merupakan bilangan irasional, kita dapat mendekati a^√3 dengan barisan pangkat bilangan rasional berikut:

Secara intuitif, kita dapat melihat bahwa pangkat rasional dari a akan mendekat dan terus mendekat ke a^√3. Dapat ditunjukkan dengan menggunakan matematika lanjut bahwa terdapat tepat satu bilangan yang didekati oleh barisan tersebut. Kita definisikan a^√3 sebagai bilangan ini.

Misalkan, dengan menggunakan kalkulator, kita dapat menghitung

Semakin banyak desimal yang kita gunakan untuk menentukan √3 dalam perhitungan, maka kita akan mendapatkan pendekatan yang semakin baik.

---

Definisi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.

---

Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1^x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:

Contoh 1: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial

Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai masing-masing fungsi berikut pada x yang diberikan.

1. f(x) = 2^x pada x = –3,1
2. f(x) = 2^–x pada x = π
3. f(x) = 0,6^x pada x = 3/2.

Pembahasan

1. f(–3,1) = 2^–3,1 ≈ 0,1166291
2. f(π) = 2^–π ≈ 0,1133147
3. f(3/2) = (0,6)^3/2 = 0,4647580

Ketika menghitung nilai fungsi eksponensial dengan menggunakan kalkulator, selalu ingat untuk menutup eksponen yang berbentuk pecahan dalam tanda kurung. Hal ini dikarenakan kalkulator mengikuti urutan operasi, dan tanda kurung sangat penting untuk mendapatkan hasil yang benar.

Halaman: 1 2 3 4 5 6

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari dua hal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat dalam dua variabel, yaitu:

• Menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dalam dua variabel.
• Menggunakan pendekatan grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dalam dua variabel.
• Menggunakan sistem persamaan untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Metode Substitusi

Banyak permasalahan dalam bidang sains, bisnis, dan teknik yang melibatkan dua atau lebih persamaan dalam dua atau lebih variabel. Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini, kita harus menemukan selesaian-selesaian dari sistem persamaan. Berikut ini contoh sistem persamaan dalam dua variabel.

Selesaian dari sistem ini merupakan pasangan berurutan yang memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut. Proses dalam menemukan himpunan semua selesaian ini disebut menyelesaikan sistem persamaan. Misalkan, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, kita substitusi –1 ke x dan 3 ke y dalam masing-masing persamaan.

Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 dan Persamaan 2:

Di sini kita akan mempelajari dua cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan metode substitusi.

---

Metode Substitusi

1. Selesaikan satu persamaan, sehingga satu variabel pada persamaan tersebut dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi bentuk yang didapatkan dalam Langkah 1 ke dalam persamaan lainnya untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel.
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada Langkah 2.
4. Substitusi balik nilai yang didapatkan pada Langkah 3 ke dalam persamaan yang diperoleh pada Langkah 1 untuk menemukan nilai variabel lainnya.
5. Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.

---

Contoh 1: Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Substitusi

Selesaikan sistem persamaan berikut.

Pembahasan Pertama, kita selesaikan Persamaan 2 ke dalam y.

Selanjutnya, substitusi bentuk ini ke dalam Persamaan 1 dan selesaikan persamaan dalam satu variabel yang dihasilkan.

Selesaikan y dengan mensubstitusi balik x = 4/3 dan x = –2 ke dalam persamaan y = 2x + 1, untuk mendapatkan

Selesaian dari sistem persamaan ini adalah pasangan-pasangan berurutan

Halaman: 1 2 3 4

Sistem Pertidaksamaan

Pada pembahasan ini, kita akan belajar mengenai tiga hal berikut:

• Mensketsa grafik pertidaksamaan dalam dua variabel.
• Menyelesaikan sistem pertidaksamaan.
• Menggunakan sistem pertidaksamaan dua variabel untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Grafik dari Suatu Pertidaksamaan

Pernyataan-pernyataan

merupakan pertidaksamaan-pertidaksamaan dalam dua variabel. Pasangan berurutan (a, b) merupakan selesaian dari suatu pertidaksamaan dalam x dan y jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar setelah a dan b secara berturut-turut disubstitusi ke x dan y. Grafik dari suatu pertidaksamaan merupakan kumpulan semua selesaian pertidaksamaan tersebut. Untuk mensketsa grafik suatu pertidaksamaan, kita mulai dengan mensketsa grafik dari persamaan yang bersesuaian. Grafik suatu persamaan biasanya akan membagi bidang menjadi dua daerah atau lebih. Pada masing-masing daerah yang terbentuk, satu dari pernyataan berikut harus benar.

1. Semua titik dalam daerah tersebut merupakan selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.
2. Tidak ada titik dalam daerah tersebut yang menjadi selesaian pertidaksamaan yang diberikan.

Sehingga, kita dapat menentukan apakah titik-titik dalam suatu daerah memenuhi pertidaksamaan dengan hanya menguji satu titik dalam daerah tersebut.

---

Mensketsa Grafik Suatu Pertidaksamaan dalam Dua Variabel

1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan kemudian sketsa grafik dari persamaan yang dihasilkan. (Gunakan garis putus-putus untuk < atau > dan garis padat untuk ≤ dan ≥).
2. Uji satu titik dalam masing-masing daerah yang dibentuk oleh grafik pada Langkah 1. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka arsirlah daerah tersebut untuk menunjukkan bahwa setiap titik dalam daerah tersebut memenuhi pertidaksamaan.

---

Contoh 1: Mensketsa Grafik Suatu Pertidaksamaan

Sketsalah grafik y ≥ x² – 1.

Pembahasan Pertama, kita sketsa grafik persamaan y = x² – 1, yang merupakan parabola, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.

Selanjutnya kita uji satu titik di atas parabola, misalkan (0, 0), dan satu titik di bawah parabola, misalkan (0, –2).

Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan yang diberikan merupakan titik-titik yang terletak di atas (atau pada) parabola.

Catatan Hati-hati ketika kita mensketsa grafik suatu pertidaksamaan dalam dua variabel. Garis putus-putus berarti bahwa semua titik pada garis atau kurva bukan merupakan selesaian. Garis padat berarti bahwa semua titik pada garis atau kurva merupakan selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.

Halaman: 1 2 3 4 5