Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Soal dan Pembahasan TKD Saintek SBMPTN 2015

Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) terdiri atas 60 soal. Dari sejumlah soal tersebut, 15 nomor pertama merupakan mata uji matematika. Pada diskusi kali ini akan dibahas soal-soal mata uji matematika tersebut. Dua soal akan langsung kita diskusikan pada blog ini, akan tetapi akan dilampirkan juga soal-soal beserta pembahasannya secara lengkap dalam bentuk dokumen pdf.

Untitled-2-01

Soal Nomor 2: Permasalahan Trigonometri


Jika sin (x + 15°) = a dengan 0° ≤ x ≤ 15°, maka nilai sin (2x + 60°) adalah ….

Pembahasan Sebelum menyelesaikan permasalahan tersebut, kita tentukan

2 cos

Sehingga kita dapatkan

2 sin

Soal Nomor 6: Permasalahan Suku Banyak


Suku banyak p(x) = (xa)7 + (xb)6 + (x – 3) habis dibagi oleh x² – (a + b)x + ab. Jika ab, a ≠ 4, maka b = ….

Pembahasan Perhatikan bahwa

6 Pembagi

Sehingga x = a dan x = b merupakan pembuat nol x² – (a + b)x + ab. Jika suku banyak p(x) habis dibagi bentuk aljabar tersebut, maka

6 Sisa

Persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi

6 Persamaan 3

Persamaan (3) di atas kita substitusikan ke persamaan (2) untuk mendapatkan

6 Hasil

Pembahasan selengkapnya dapat dilihat dalam dokumen di bawah ini.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Soal SBMPTN Tahun 2015

Berikut ini soal-soal SBMPTN tahun 2015 yang terdiri dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik (TKPA), Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek), dan Tes Kemampuan Dasar Sosial dan Humaniora (THD Soshum). Soal TKPA terdiri dari 15 soal Verbal, 15 soal Numerikal, 15 soal Figural, 15 soal Matematika Dasar, 15 soal Bahasa Indonesia, dan 15 soal Bahasa Inggris. Soal TKD Saintek terdiri dari 15 soal Matematika, 15 soal Fisika, 15 soal Kimia, dan 15 soal Biologi. Sedangkan soal TKD Soshum terdiri dari 15 soal Sejarah, 15 soal Geografi, 15 soal Sosiologi, dan 15 soal Ekonomi.

 TKPA TKD Saintek TKD Soshum
 TKPA Thumbnail  TKD Saintek Thumbnail  TKD Soshum Thumbnail

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Uncategorized | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

Diferensial

Setelah diskusi kali ini kita diharapkan dapat:

  1. Memahami konsep pendekatan garis singgung.
  2. Membandingkan nilai diferensial, dy, dengan perubahan sebenarnya dalam y, ∆y.
  3. Memperkirakan penyebaran error dengan menggunakan diferensial.
  4. Menemukan diferensial fungsi dengan menggunakan rumus-rumus diferensial.

PostArt-01

Pendekatan Garis Singgung

Metode Newton merupakan contoh penggunaan garis singgung untuk memperkirakan grafik suatu fungsi. Pada bagian ini, kita akan belajar situasi lain sedemikian sehingga grafik suatu fungsi dapat diperkirakan dengan suatu garis lurus.

Pertama, perhatikan suatu fungsi f yang terdiferensialkan pada c. Persamaan garis singgung fungsi tersebut pada titik (c, f(c)) adalah

Pendekatan Garis Singgung

dan disebut sebagai pendekatan garis singgung (atau pendekatan linear) f pada c. Karena c merupakan suatu konstanta, maka y merupakan fungsi linear terhadap x. Selain itu, dengan membatasi nilai x sehingga cukup dekat dengan c, maka nilai y dapat digunakan untuk memperkirakan (ke dalam derajat ketelitian yang ditentukan) nilai fungsi f. Dengan kata lain, jika x mendekati c, maka limit y adalah f(c).

Contoh 1: Menggunakan Pendekatan Garis Singgung

Tentukan pendekatan garis singgung f(x) = 1 + sin x pada titik (0, 1). Kemudian gunakan tabel untuk membandingkan nilai y fungsi linear dengan f(x) pada selang buka yang memuat x = 0.

Pembahasan Turunan f adalah

Contoh 1 Turunan

Sehingga, persamaan garis singgung grafik f pada titik (0, 1) adalah

Contoh 1 Pendekatan Garis Singgung

Tabel di bawah membandingkan nilai-nilai y hasil perkiraan linear dengan nilai-nilai f(x) yang dekat dengan x = 0. Perhatikan bahwa semakin dekat x ke 0, maka diperoleh perkiraan yang semakin baik. Kesimpulan ini dipertegas oleh grafik di bawahnya.

Contoh 1 Tabel

Contoh 1

Catatan Pastikan kita dapat melihat bahwa perkiraan linear f(x) = 1 + sin x ini bergantung pada titik di mana garis singgung bersinggungan dengan grafik f. Pada titik yang berbeda, kita akan mendapatkan pendekatan garis singgung yang berbeda.

Dipublikasi di Kalkulus, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , | 2 Komentar

Penerapan Turunan: Metode Newton

Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari suatu teknik untuk mendekati pembuat nol suatu fungsi. Teknik tersebut disebut Metode Newton, dan metode ini menggunakan garis singgung untuk mendekati perpotongan suatu grafik fungsi dengan sumbu-x.

Metode Newton

Untuk melihat bagaimana Metode Newton bekerja, perhatikan suatu fungsi f yang kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang (a, b). Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, f haruslah memiliki minimal satu pembuat nol pada selang (a, b). Untuk memperkirakan pembuat nol tersebut, kita pilih

Perkiraan Pertama

seperti yang ditunjukkan Gambar (a). Metode Newton didasarkan pada asumsi bahwa grafik f dan garis singgungnya pada (x1, f(x1)) memotong sumbu-x kira-kira pada titik yang sama. Karena kita dengan mudah dapat menentukan titik potong garis singgung dengan sumbu-x, kita dapat menggunakan titik tersebut sebagai perkiraan kedua (dan biasanya lebih baik) untuk mendekati pembuat nol f. Garis singgung tersebut menyinggung pada titik (x1, f(x1)) dengan gradien f ’(x1). Persamaan garis yang melalui titik dan memiliki gradien tertentu dapat dituliskan

Persamaan Garis

Dengan memisalkan y = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut ke dalam x menghasilkan

Persamaan dalam x

Sehingga, dari perkiraan awal x1, kita memperoleh perkiraan yang baru

Perkiraan Kedua

Kita dapat memperbaiki x2 dan menghitung perkiraan yang ketiga

Perkiraan Ketiga

Pengulangan proses di atas disebut sebagai Metode Newton.


Metode Newton untuk Mendekati Pembuat Nol Suatu Fungsi

Misalkan f(c) = 0, dimana f terdiferensialkan pada selang buka yang memuat c. Maka, untuk mendekati c, kita lakukan langkah-langkah berikut.

  1. Buat perkiraan awal x1 yang dekat ke c. (Grafik fungsi bisa membantu).
  2. Tentukan perkiraan baru
    Langkah Kedua
  3. Jika |xnxn + 1| masuk dalam akurasi yang diharapkan, maka xn + 1 merupakan perkiraan akhir. Jika tidak, kembali ke langkah 2 dan hitung perkiraan baru.

Masing-masing terapan berurutan prosedur ini disebut sebagai iterasi.


Contoh 1: Menggunakan Metode Newton

Hitunglah tiga iterasi Metode Newton untuk mendekati pembuat nol f(x) = x² – 2. Gunakan x1 = 1 sebagai perkiraan awal.

Pembahasan Karena f(x) = x² – 2, kita dapatkan f ’(x) = 2x, dan rumus iteratifnya adalah

Contoh 1 Rumus Iteratif

Perhitungan tiga iterasi Metode Newton fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.

Contoh 1 Tabel

Tentunya, dalam kasus ini kita tahu bahwa dua pembuat nol fungsi tersebut adalah ±√2. Dalam enam angka di belakang koma, √2 = 1,414214. Sehingga, kita menghasilkan suatu pendekatan yang berselisih 0,000002 dari akar sebenarnya. Iterasi pertama proses ini digambarkan oleh gambar di bawah.

Contoh 1

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi

Salah satu penerapan kalkulus yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Sebelum kita menguraikan strategi untuk menyelesaikan permasalahan seperti itu, perhatikan contoh berikut.

PostArt-01

Contoh 1: Menentukan Volume Terbesar

Suatu perusahaan ingin merancang suatu kotak terbuka yang memiliki alas persegi dan luas permukaan 108 cm², seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Berapakah panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut agar menghasilkan kotak dengan volume terbesar?

Contoh 1

Pembahasan Karena kotak tersebut memiliki alas persegi, maka volumenya

Contoh 1 V

Persamaan ini disebut sebagai persamaan primer karena persamaan tersebut memberikan rumus untuk nilai yang akan dioptimumkan. Luas permukaan kotak tersebut adalah,

Contoh 1 L

Karena V akan dimaksimumkan, maka kita perlu menulis V hanya ke dalam satu variabel. Untuk itu, kita harus menyelesaikan persamaan 108 = x² + 4xt dalam t yang memuat variabel x. Sehingga dihasilkan t = (108 – x²)/(4x). Dengan mensubstitusi nilai t tersebut ke dalam persamaan primer, didapatkan

Contoh 1 V 1 variabel

Sebelum menentukan nilai x mana yang dapat menyebabkan V maksimum, kita terlebih dulu harus menentukan domain fungsi V, yaitu nilai x yang masuk akal dalam masalah ini. Kita tahu bahwa V ≥ 0. Kita juga tahu bahwa nilai x yang masuk akal adalah nilai yang tidak negatif dan luas alas (A = x²) memiliki nilai maksimum 108, sehingga domain fungsi tersebut adalah

Contoh 1 Domain

Untuk memaksimumkan V, kita tentukan nilai kritis fungsi V pada selang (0, √108).

Contoh 1 Nilai Kritis

Sehingga diperoleh nilai kritis x = ±6. Kita tidak perlu mempertimbangkan x = –6 karena terletak di luar domain. Kita tentukan nilai V pada nilai kritis dan kedua ujungnya, diperoleh V(0) = 0, V(6) = 108, dan V(√108) = 0. Jadi, V akan bernilai maksimum pada x = 6, dan ukuran kotak yang dimaksud adalah 6 cm × 6 cm × 3 cm.

Pada Contoh 1, kita menyadari bahwa terdapat tak hingga banyak kotak terbuka yang memiliki luas alas 108 cm². Untuk memulai menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus menanyakan kepada diri kita sendiri bentuk kotak yang seperti apa yang dapat menghasilkan volume maksimum. Apakah kotak panjang, pendek, atau kotak yang menyerupai kubus?

Kita bisa mencoba untuk menghitung beberapa volume, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah, untuk memprediksi bentuk manakah yang menghasilkan volume maksimum. Ingat bahwa kita tidak siap untuk menyelesaikan masalah sampai kita dapat mengidentifikasi permasalahan tersebut.

Contoh 1 Ilustrasi

Contoh 1 mengilustrasikan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan optimalisasi berikut.


Panduan Menyelesaikan Permasalahan Optimalisasi

  1. Identifikasi semua kuantitas yang diberikan dan semua kuantitas yang akan ditentukan. Jika mungkin, buatlah sketsa.
  2. Tulis persamaan primer untuk kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
  3. Reduksi persamaan primer menjadi persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas. Hal ini melibatkan persamaan kedua yang memuat variabel bebas persamaan primer.
  4. Tentukan domain persamaan primer. Sehingga kita harus menentukan semua nilai yang menyebabkan permasalahan yang diberikan masuk akal.
  5. Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dengan menggunakan teknik kalkulus.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , | Tinggalkan komentar