Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Bermain Sulap: Kuadrat Bilangan

Kuadrat suatu bilangan dapat ditentukan secara cepat jika digunakan perkalian bilangan kelipatan 10.

Pola-pola bilangan yang menarik mungkin saja sering kita jumpai di sekitar kita. Di sini kita akan melihat pola hasil kali dua bilangan yang dijumlahkan sama dengan 20. Perhatikan pola berikut.

Selisih terhadap 100

10 × 10 = 100
9 × 11 = 99

1

8 × 12 = 96

4

7 × 13 = 91

9

6 × 14 = 84

16

5 × 15 = 75

25

Adakah pola yang terlihat dalam tabel di atas? Ya, semakin jauh kita pilih bilangan dari 10, maka hasil kalinya juga akan semakin jauh dengan 100. Kemudian, seberapa jauh hasil kali bilangan-bilangan tersebut dengan 100? Jaraknya terhadap 100 adalah 1, 4, 9, 16, 25, … yang bisa dituliskan menjadi 1², 2², 3², 4², 5², …. Mungkin kita bertanya lagi. Apakah pola ini selalu berlaku? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita coba contoh lainnya. Kita pilih dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46 sebagai contoh kita berikutnya.

Selisih terhadap 529

23 × 23 = 529

22 × 24 = 528

1

21 × 25 = 525

4

20 × 26 = 520

9

19 × 27 = 513

16

18 × 28 = 504

25

Sekali lagi, kita bisa melihat bahwa pola yang telah kita temukan juga berlaku untuk dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46. Hasil kali dua bilangan tersebut akan maksimal jika dua bilangan tersebut sama/kembar, kemudian hasil kali tersebut akan turun sebesar 1, 4, 9, 16, 25, dan seterusnya. Berdasarkan dua contoh sebelumnya, kita telah yakin bahwa pola tersebut berlaku secara umum. Kemudian, kita dapat melihat bahwa pola yang telah kita temukan dapat kita gunakan untuk menentukan kuadrat suatu bilangan.

Misalkan kita akan tentukan kuadrat dari 23. Untuk melakukannya, kita tidak perlu melakukan perkalian 23 × 23, akan tetapi kita pilih perkalian yang lebih mudah, yaitu 20 × 26 = 520. Hasil kali ini dekat dengan jawaban yang kita cari, akan tetapi karena kita telah turun dan naik sejauh 3 satuan dari 23, maka kita jumlahkan hasil kali tersebut dengan 3². Sehingga

23² = 20 × 26 + 3² = 520 + 9 = 529

Mari kita coba contoh lainnya. Kita hitung 98 × 98 dengan menggunakan metode ini. Untuk melakukannya, kita naik 2 satuan untuk menuju 100 dan turun dua satuan untuk menuju 96, kemudian kita jumlahkan hasil kali kedua bilangan tersebut dengan 2².

98² = 100 × 96 + 2² = 9604

Jika kita mengkuadratkan bilangan yang memiliki angka terakhir 5, kita dapat melakukannya dengan mudah, karena jika kita naik dan turun 5 satuan dari bilangan tersebut, maka kita akan peroleh bilangan yang memiliki angka terakhir 0. Perhatikan contoh berikut.

45² = 40 × 50 + 5² = 2000 + 25 = 2025
65² = 60 × 70 + 5² = 4200 + 25 = 4225
85² = 80 × 90 + 5² = 7200 + 25 = 7225

Terakhir, kita akan mencoba untuk menghitung kuadrat dari 49. Dengan naik dan turun sejauh 1 satuan, kita peroleh 49² = 50 × 48 + 1². Lalu bagaimana kita menghitung 50 × 48 tanpa menulis perkalian bersusun pada kertas? Abaikan angka 0 pada bilangan 50 dan hitung 5 × 48. Sekarang kita hitung 5 × 40 = 200 dan 5 × 8 = 40. Kita jumlahkan bilangan-bilangan tersebut dan diperoleh 240. Jadi, 50 × 48 = 2400, dan didapatkan

49² = 50 × 48 + 1² = 2400 + 1 = 2401


Sekarang kita akan menjelaskan secara aljabar mengapa metode yang kita lakukan sebelumnya dapat digunakan.

A² = (A + b)(A − b) + b²

dimana A adalah bilangan yang akan dikuadratkan, dan b adalah jarak ke bilangan kelipatan 10 terdekat. Misalkan, jika ketika mengkuadratkan 49, A = 49 dan b = 1, sehingga dengan rumus ini 49² = (49 + 1)(49 − 1) + 1², seperti yang telah kita lakukan pada perhitungan terakhir. Semoga bermanfaat, yos3prens.


RUJUKAN:
Benjamin, Arthur. (2015). The Magic of Math: Solving for x and Figuring Out Why. New York: Basic Books

Dipublikasi di Kelas IV, Materi SD | Tag , , , , | Meninggalkan komentar

Suku Banyak dan Cara Horner

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari suku banyak secara aljabar. Sebagian besar diskusi kita nanti akan membahas tentang pemfaktoran suku banyak. Untuk memfaktorkan suku banyak, kita harus tahu bagaimana cara membagi suku banyak. Oleh karena itu, setelah mempelajari pembahasan ini diharapkan kita mampu

Pembagian Bersusun Suku Banyak

Pembagian suku banyak hampir sama dengan pembagian bilangan. Ketika kita membagi 46 dengan 5, hasil baginya adalah 9 dan sisanya adalah 1.

Pembagian Bilangan

Untuk membagi suku banyak, kita gunakan pembagian bersusun yang dijelaskan sebagai berikut.


Algoritma Pembagian

Jika f(x) dan p(x) adalah suku banyak, dengan p(x) ≠ 0, maka ada suku banyak tunggal H(x) dan S(x), di mana S(x) adalah 0 atau suku banyak yang memiliki derajat kurang dari derajat p(x), sedemikian sehingga

Algoritma Pembagian 1

atau,

Algoritma Pembagian 2

Suku banyak p(x) disebut sebagai pembagi, H(x) merupakan hasil bagi, dan S(x) merupakan sisa.


Contoh 1: Pembagian Bersusun Suku Banyak

Bagilah 4x² – 14x + 15 dengan x – 4. Nyatakan hasilnya ke dalam masing-masing bentuk yang ditunjukkan pada Algoritma Pembagian.

Pembahasan Suku banyak yang akan dibagi adalah 4x² – 14x + 15, dan pembaginya x – 4. Pertama kita susun kedua suku banyak tersebut sebagai berikut.

Contoh 1 Langkah 1

Selanjutnya kita bagi suku pertama terbagi dengan suku pertama pembagi untuk mendapatkan suku pertama hasil bagi: 4x²/x = 4x. Kemudian kita kalikan pembagi dengan 4x dan kita kurangkan terbagi dengan hasil yang diperoleh.

Contoh 1 Langkah 2

Kita ulang proses ini dengan menggunakan baris terakhir 2x + 15 sebagai yang terbagi.

Contoh 1 Langkah 3

Proses pembagian berakhir ketika baris terakhir memiliki derajat yang kurang dari derajat pembagi. Baris terakhir merupakan sisa, sedangkan baris yang paling atas merupakan hasil bagi. Pembagian di atas dapat dinyatakan dalam dua bentuk berikut.

Contoh 1 Bentuk Pembagian

Contoh 2: Pembagian Bersusun Suku Banyak

Misalkan f(x) = 12x⁴ – 10x³ + 8x – 3 dan p(x) = 2x² – x + 4. Tentukan suku banyak H(x) dan S(x) di mana f(x) = p(x) ∙ H(x) + S(x).

Pembahasan Sebelum melakukan pembagian bersusun, kita sisipi suku 0x² pada suku banyak yang akan dibagi agar suku banyak tersebut memiliki suku yang lengkap.

Contoh 2 Pembagian

Proses pembagian tersebut sudah selesai karena 3x + 49 memiliki derajat yang lebih rendah daripada 2x² – x + 4. Berdasarkan pembagian bersusun di atas kita dapat melihat bahwa H(x) = 6x² – 2x – 13 dan S(x) = 3x + 49, sehingga

Contoh 2 Bentuk Pembagian

Dipublikasi di Aljabar, Kelas XI, Materi SMA | Tag , , , , , , , | Meninggalkan komentar

Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Beberapa proses yang terjadi di sekitar kita, seperti pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, penyebaran kalor, dan banyak lagi lainnya, dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai pemodelan eksponensial dan logaritma. Secara khusus, pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal berikut ini.

Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Pendahuluan

Lima jenis model matematis yang paling umum berkaitan dengan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma adalah sebagai berikut.

  1. Model pertumbuhan eksponensial:
    Model 1
  2. Model penurunan eksponensial:
    Model 2
  3. Model Gaussian:
    Model 3
  4. Model pertumbuhan logistik:
    Model 4
  5. Model logaritma:
    Model 5

Bentuk dasar dari grafik fungsi-fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1

Seringkali kita dapat melihat bahwa suatu permasalahan dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial atau logaritma jika kita bisa mengidentifikasi asimtot dari grafik yang diberikan (atau yang kita gambar).

Pertumbuhan dan Penuruan Eksponensial

Contoh 1: Memodelkan Pertumbuhan dan Penurunan Populasi

Tabel berikut ini menunjukkan jumlah penduduk tengah tahun (dalam jutaan) dari lima negara di tahun 2010 dan jumlah penduduk yang diproyeksikan (dalam jutaan) untuk tahun 2020. (Sumber: Wolfram Research.)

Contoh 1 Tabel 1

  1. Carilah model pertumbuhan atau penurunan eksponensial y = aebt atau y = aebt untuk masing-masing negara dengan memisalkan t = 10 untuk tahun 2010. Gunakan model ini untuk memprediksi jumlah penduduk pada masing-masing negara pada tahun 2030.
  2. Kita dapat melihat bahwa laju pertumbuhan penduduk di Indonesia berbeda dengan di Amerika Serikat. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang memberikan laju pertumbuhan penduduk? Apakah hubungan antara laju pertumbuhan penduduk yang berbeda dengan besar konstanta tersebut?
  3. Kita juga dapat melihat bahwa jumlah penduduk di Cina naik, sedangkan jumlah penduduk di Bulgaria turun. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang menunjukkan perbedaan ini? Jelaskan.

Pembahasan Untuk masing-masing negara, misalkan y merupakan jumlah penduduk setelah t tahun.

  1. Pertama kita cari model pertumbuhan penduduk pada negara Bulgaria. Dari tabel kita dapat melihat bahwa ketika t = 10 diketahui y = 7,5 dan ketika t = 20 diketahui y = 7,1. Sehingga kita peroleh
    Contoh 1-1 Substitusi
    Untuk menyelesaikan b, kita selesaikan a pada persamaan pertama.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan a
    Kemudian kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan kedua.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan b
    Dengan menggunakan b = (1/10)ln(7,1/7,5) dan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan
    Contoh 1-1 Nilai a
    Sehingga, dengan a ≈ 7,92 dan b = (1/10) ln(7,1/7,5) ≈ –0,0055, model eksponensial pertumbuhan penduduk negara Bulgaria adalah
    Contoh 1-1 Model
    Dengan cara yang sama, kita mendapatkan model pertumbuhan penduduk untuk negara-negara lainnya. Model-model tersebut dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.
    Contoh 1-1 Tabel 2
  2. Dari model yang diperoleh kita dapat melihat bahwa yang mempengaruhi besar kecilnya laju pertumbuhan penduduk adalah konstanta b, yaitu 0,0099 untuk Indonesia dan 0,0116 untuk Amerika Serikat. Semakin besar konstanta b, maka semakin tinggi juga laju pertumbuhan penduduknya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa laju pertumbuhan penduduk di Amerika Serikat lebih tinggi daripada Indonesia.
  3. Konstanta yang mempengaruhi turun naiknya pertumbuhan penduduk adalah konstanta b. Dalam tabel kita dapat melihat bahwa konstanta b pada model pertumbuhan penduduk di Cina adalah 0,0050 (positif) dan di Bulgaria adalah –0,0055 (negatif). Jika pangkat e positif maka nilai y akan naik, karena y = aebt dengan ebt > 1. Sebaliknya jika pangkat e negatif maka nilai y akan turun karena y = ae–bt dapat dituliskan menjadi y = a/ebt. Dengan kata lain, y merupakan hasil bagi a dengan bilangan ebt > 1, sehingga nilai y akan semakin kecil.
Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA | Tag , , , , , , , , , , , | 1 Komentar

Persamaan Eksponensial dan Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar prosedur dalam menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Sehingga setelah mempelajari hal ini, diharapkan nanti kita dapat

Sampul

Pendahuluan

Terdapat dua strategi dasar dalam menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma. Strategi pertama didasarkan pada Sifat Satu-Satu dan strategi yang kedua didasarkan pada Sifat Invers. Untuk a > 0 dan a ≠ 1, sifat-sifat berikut ini benar untuk semua x dan y sedemikian sehingga loga x dan loga y terdefinisi.

Sifat Satu-Satu
ax = ay jika dan hanya jika x = y.
loga x = loga y jika dan hanya jika x = y.

Sifat Invers
aloga x = x.
loga ax = x.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Sederhana

Tabel berikut menunjukkan bagaimana cara menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma sederhana.

Contoh 1

Strategi-strategi yang digunakan dalam Contoh 1 dapat dirangkum sebagai berikut.


Strategi dalam Menyelesaikan Persamaan Eksponensial dan Logaritma

  1. Tulislah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk yang memperbolehkan penggunaan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial atau logaritma.
  2. Tulislah persamaan eksponensial ke dalam bentuk logaritma dan terapkan Sifat Invers fungsi logaritma.
  3. Tulislah persamaan logaritma ke dalam bentuk eksponensial dan terapkan Sifat Invers fungsi eksponensial.

Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan persamaan-persamaan

Contoh 2 P1

dan

Contoh 2 P2

dan jika perlu dekatilah hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Tampak jelas bahwa pada persamaan pertama kita perlu untuk menggunakan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial.

Contoh 2-1

Sehingga selesaian persamaan pertama adalah x = –1 dan x = 4. Selanjutnya kita selesaikan persamaan yang kedua.

Contoh 2-2

Jadi, selesaian persamaan kedua adalah x = log2 14 ≈ 3,807.

Dalam Contoh 2(b), selesaian eksaknya adalah x = log2 14, dan selesaian taksirannya adalah x ≈ 3,807. Jawaban eksak digunakan ketika selesaian tersebut akan digunakan lagi pada masalah yang lebih besar. Untuk jawaban akhir, selesaian taksiran lebih mudah dipahami.

Contoh 3: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan ex + 5 = 50 dan tentukan hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Pertama kita pisahkan bentuk eksponensial dengan suku-suku lainnya.

Contoh 3

Sehingga selesaian persamaan yang diberikan adalah x = ln 55 ≈ 4,007.

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , | 2 Komentar

25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk membuktikan suatu pernyataan matematis dengan menggunakan induksi matematika. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif.

Sampul


Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

  1. P(1) benar, dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

  1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
  2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
  3. P(k): k + 3 < 5k²
  4. P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

  1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
    Soal 1-1
  2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
    Soal 1-2
  3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
    Soal 1-3
  4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
    Soal 1-4

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Soal 2

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

  1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
    Soal 2-1
  2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
    Soal 2-2 Hipotesis
    bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
    Soal 2-2

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Dipublikasi di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , | 8 Komentar