Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Jarak Antara Dua Garis Bersilangan

Permasalahan mengenai jarak antara titik dan bidang, serta jarak antara titik dan garis dalam ruang dapat diselesaikan dengan menggunakan hasil kali titik dan hasil kali silang. Dalam pembahasan ini, kita akan belajar mengenai permasalahan jarak yang ketiga—jarak antara dua garis yang bersilangan dalam ruang. Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berpotongan.

Gambar 1 Contoh garis-garis bersilangan

Soal nomor 1 – 3 melatih kita untuk membuktikan bahwa dua garis yang diberikan merupakan garis-garis yang bersilangan. Selain itu, kita juga berlatih dalam menemukan jarak antara dua garis yang bersilangan dengan menggunakan rumus jarak antara suatu titik dengan bidang. Pada soal nomor 4, kita akan menemukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan.

  1. Soal 1: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  2. Soal 2: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  3. Soal 3: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  4. Soal 4: Menemukan rumus jarak antara dua garis bersilangan.
  5. Rumus jarak antara dua garis bersilangan.

Soal 1: Menentukan Jarak Dua Garis Bersilangan

Perhatikan persamaan-persamaan parametris dua garis dalam ruang berikut.

1Soal

  1. Tunjukkan bahwa kedua garis ini tidak sejajar.
  2. Tunjukkan bahwa dua garis ini tidak berpotongan, sehingga kedua garis tersebut merupakan garis-garis yang bersilangan.
  3. Tunjukkan bahwa kedua garis tersebut terletak pada bidang-bidang yang sejajar.
  4. Tentukan jarak antara bidang-bidang sejajar yang diperoleh dari bagian (3). Jarak ini merupakan jarak antara dua garis bersilangan yang diberikan, L1 dan L2.

Pembahasan Pertama, kita identifikasi vektor arah garis-garis L1 dan L2. Misalkan v1 dan v2 secara berturut-turut adalah vektor-vektor arah L1 dan L2, maka kita mendapatkan

1 v1 v2

  1. Dua garis dalam ruang dikatakan sejajar jika vektor arah satu garis tersebut merupakan perkalian skalar vektor arah garis yang lain. Padahal jika kita menyelesaikan persamaan
    1-1 Perkalian skalar
    kemudian menyamakan komponen-komponen kedua vektor di atas
    1-1 Menentukan k
    maka kita tidak akan menemukan selesaian persamaan tersebut. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa kedua garis ini, L1 dan L2, tidak sejajar.
  2. Dua garis dikatakan berpotongan jika ada satu titik yang terletak pada garis pertama dan garis kedua. Andaikan garis-garis L1 dan L2 berpotongan di P(x0, y0, z0), maka ada t0 dan s0 sedemikian sehingga
    1-2 Sistem
    Selanjutnya kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan mengalikan persamaan (1) dengan –1 kemudian kita jumlahkan hasilnya dengan persamaan (2).
    1-2 s0
    Akan tetapi jika kita substitusi s0 = 11/7 ke persamaan (1)
    1-2 t0 (1)
    dan kita substitusi s0 = 11/7 ke persamaan (3)
    1-2 t0 (2)
    maka kita akan mendapatkan nilai t0 yang berbeda. Sehingga sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Hal ini berarti kontradiksi terhadap pengandaian kita di awal. Oleh karena itu, dua garis L1 dan L2 tidak berpotongan. Karena garis-garis L1 dan L2 tidak sejajar dan tidak berpotongan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa kedua garis tersebut bersilangan.
  3. Untuk menunjukkan bahwa garis-garis L1 dan L2 terletak pada bidang-bidang yang sejajar, maka kita harus mencari dua bidang sejajar—satu bidang memuat garis L1, sedangkan bidang lainnya memuat garis L2. Karena dua bidang sejajar memiliki vektor normal yang sama dengan perkalian skalar vektor normal bidang lainnya, maka kita dapat memisalkan bahwa vektor normal kedua bidang tersebut sama (memilih skalar k = 1). Selain itu, vektor-vektor normal tersebut haruslah tegak lurus dengan vektor-vektor arah L1 dan L2. Sehingga,
    1-3 n1=n2
    Selanjutnya kita tentukan titik P yang terletak pada garis L1 dan bidang pertama
    1-3 P
    dan kita peroleh koordinat titik P adalah (4, 5, 1). Selanjutnya kita tentukan titik Q yang terletak pada garis L2 dan bidang kedua.
    1-3 Q
    Kita mendapatkan koordinat titik Q adalah (4, –6, 7).Gambar 2Dengan menggunakan vektor normal n1 = <17, 11, 35> dan titik pada bidang P(4, 5, 1), persamaan bidang pertama dapat ditentukan seperti berikut.1-3 Bidang 1
    Dengan menggunakan vektor normal n2 = <17, 11, 35> dan titik pada bidang Q(4, –6, 7), kita dapat menentukan persamaan umum bidang kedua.
    1-3 Bidang 2
    Jarak antara bidang pertama dan bidang kedua sama dengan jarak antara bidang pertama dengan titik Q, titik pada bidang kedua.
    1-3 Jarak
    Karena jarak dua garis bersilangan sama dengan jarak antara dua bidang sejajar yang memuatnya, maka jarak antara garis-garis bersilangan L1 dan L2 adalah sekitar 2,201.
Dipublikasi di Geometri, Kalkulus, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , | Meninggalkan komentar

A Recreational Reflexa!

#introduction #reflection #transformation #geometry #cai #animation #cartoon #gatotkaca

A video posted by Yosep Dwi Kristanto (@yos3prens) on

Video | Posted on by | Tag , , , , , , | Meninggalkan komentar

Garis dan Bidang dalam Ruang

Terdapat empat hal yang akan kita pelajari dalam pembahasan ini. Setelah membahas topik garis dan bidang dalam ruang, diharapkan kita dapat:

Garis dan Bidang-01

Garis dalam Ruang

Pada bidang, gradien digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis. Dalam ruang, akan lebih mudah jika kita gunakan vektor untuk menentukan persamaan suatu garis.

Gambar 1

Pada Gambar 1, perhatikan garis L yang melalui titik P(x1, y1, z1) dan sejajar terhadap vektor v = <a, b, c>. Vektor v adalah vektor arah untuk garis L, dan a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan arah. Kita dapat mendeskripsikan bahwa garis L adalah himpunan semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ sejajar dengan v. Ini berarti bahwa PQ merupakan perkalian skalar v dan kita dapat menuliskan PQ = tv, dimana t adalah suatu skalar (bilangan real).

PQ

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkan persamaan-persamaan parametris suatu garis dalam ruang.


Teorema 1 Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis dalam Ruang

Garis L yang sejajar dengan vektor v = <v1, v2, v3> dan melewati titik P(x1, y1, z1) direpresentasikan dengan persamaan-persamaan parametris

Teorema 1


Jika bilangan-bilangan arah a, b, dan c tidak nol, maka kita dapat mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan persamaan-persamaan simetris garis.

Persamaan Simetris

Contoh 1: Menentukan Persamaan-persamaan Parametris dan Simetris

Tentukan persamaan-persamaan parametris dan simetris garis L yang melalui titik (1, –2, 4) dan sejajar terhadap v = <2, 4, –4>, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.

Gambar 2

Pembahasan Untuk menentukan persamaan-persamaan parametris garis tersebut, kita gunakan koordinat-koordinat x1 = 1, y1 = –2, dan z1 = 4 dan arah a = 2, b = 4, dan c = –4.

Contoh 1 Persamaan Parametris

Karena a, b, dan c semuanya tidak nol, persamaan simetris garis tersebut adalah

Contoh 1 Persamaan Simetris

Persamaan-persamaan parametris atau simetris untuk garis yang diberikan tidaklah tunggal. Sebagai contoh, dalam Contoh 1, dengan memisalkan t = 1 dalam persamaan-persamaan parametris, kita akan mendapatkan titik (3, 2, 0). Dengan menggunakan titik ini dengan bilangan-bilangan arah a = 2, b = 4, dan c = –4 kita akan menghasilkan himpunan persamaan-persamaan parametris yang berbeda

Contoh 1 Alternatif

Contoh 2: Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis yang Melalui Dua Titik

Tentukan persamaan-persamaan parametris suatu garis yang melalui titik-titik (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

Pembahasan Pertama, kita gunakan titik-titik P(–2, 1, 0) dan Q(1, 3, 5) untuk menentukan vektor arah garis yang melalui P dan Q.

Contoh 2 v

Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah a = 3, b = 2, dan c = 5 dengan titik P(–2, 1, 0), kita dapat memperoleh persamaan-persamaan parametris

Contoh 2 Persamaan Parametris

Catatan Karena t beragam untuk semua bilangan real, persamaan-persamaan parametris pada Contoh 2 digunakan untuk menentukan titik-titik (x, y, z) yang terletak pada garis. Secara khusus, untuk t = 0 dan t = 1 memberikan titik-titik awal yang diketahui, yaitu (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

Dipublikasi di Geometri, Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , , , , , , , , | Meninggalkan komentar

Hasil Kali Silang Dua Vektor dalam Ruang

Pada pembahasan ini kita akan berdiskusi tentang hasil kali silang vektor-vektor dalam ruang. Sehingga, setelah mempelajari hasil kali tersebut diharapkan kita dapat melakukan hal-hal berikut.

Hasil Kali Silang-01

Hasil Kali Silang

Banyak penerapan dalam fisika, teknik, dan geometri yang menuntut kita untuk menemukan suatu vektor dalam ruang yang ortogonal terhadap dua vektor. Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari operasi hasil kali yang akan menghasilkan suatu vektor. Operasi tersebut dinamakan hasil kali silang, dan operasi ini akan lebih mudah didefinisikan dan dihitung jika kita menggunakan bentuk vektor satuan baku. Karena hasil kali silang menghasilkan suatu vektor, operasi ini juga sering disebut sebagai hasil kali vektor.


Definisi Hasil Kali Silang Dua Vektor dalam Ruang

Misalkan u = u1i + u2j + u3k dan v = v1i + v2j + v3k adalah vektor-vektor dalam ruang. Hasil kali silang u dan v adalah vektor

Def Hasil Kali Silang


Sangat penting untuk mengingat bahwa definisi ini hanya berlaku pada vektor-vektor tiga dimensi. Hasil kali silang tidak didefinisikan untuk vektor-vektor dua dimensi.

Cara yang mudah untuk menghitung u × v adalah menggunakan bentuk determinan dengan ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan di bawah. (Bentuk determinan 3 × 3 ini digunakan untuk membantu mengingat rumus hasil kali silang—akan tetapi secara teknis bentuk tersebut bukanlah determinan karena tidak semua elemen matriks tersebut adalah bilangan real.)

Hasil Kali Silang dengan Determinan

Ingat tanda negatif di depan komponen-j. Masing-masing determinan 2 × 2 dapat dihitung dengan menggunakan pola diagonal.

Determinan 2x2

Berikut ini beberapa contoh penghitungan determinan 2 × 2.

Determinan 2x2 Contoh 1

dan

Determinan 2x2 Contoh 2

Contoh 1: Menentukan Hasil Kali Silang

Untuk u = i – 2j + k dan v = 3i + j – 2k, tentukan hasil kali silang untuk masing-masing pasangan vektor berikut.

  1. u × v
  2. v × u
  3. v × v

Pembahasan

  1. Hasil kali silang antara vektor-vektor u dan v dapat dilakukan seperti berikut.
    Contoh 1-1
    Sehingga kita mendapatkan u × v = 3i + 5j + 7k.
  2. Hasil v × u dapat ditentukan seperti berikut.
    Contoh 1-2
    Sehingga v × u = –3i – 5j – 7k.
  3. Perhitungan hasil kali silang v dan v dapat ditunjukkan sebagai berikut.
    Contoh 1-3

Jika kita memperhatikan apa yang kita peroleh pada Contoh 1, kita mungkin sudah menduga sifat-sifat hasil kali silang. Sebagai contoh, u × v = –(v × u) dan v × v = 0. Sifat-sifat ini, dan beberapa yang lain, dirangkum dalam teorema selanjutnya.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , , , , , , | Meninggalkan komentar

Hasil Kali Titik Dua Vektor

Pada pembahasan ini, kita akan berdiskusi mengenai hasil kali titik antara dua vektor. Sehingga, setelah mempelajari hasil kali titik antara dua vektor tersebut, diharapkan kita dapat

Hasil Kali Titik-01

Hasil Kali Titik

Dua operasi pada vektor, penjumlahan dan perkalian skalar, akan menghasilkan vektor. Pada pembahasan ini kita akan mempelajari operasi vektor ketiga, yaitu hasil kali titik. Hasil kali ini tidak menghasilkan suatu vektor, tetapi akan menghasilkan suatu skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik sering disebut juga sebagai hasil kali skalar (atau hasil kali dalam).


Definisi Hasil Kali Titik

Hasil kali titik u = <u1, u2> dan v = <v1, v2> adalah

Def Hasil Kali Titik 1

Hasil kali titik u = <u1, u2, u3> dan v = <v1, v2, v3> adalah

Def Hasil Kali Titik 2


Teorema 1 Sifat-sifat Hasil Kali Titik

Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor pada bidang atau dalam ruang dan misalkan c adalah suatu skalar.

Teorema 1


Bukti Untuk membuktikan sifat pertama, misalkan u = <u1, u2, u3> dan v = <v1, v2, v3>. Maka

Teorema 1 Bukti 1

Untuk sifat yang kelima, misalkan v = <v1, v2, v3>. Maka

Teorema 1 Bukti 5

Sifat-sifat yang lain dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

Contoh 1: Menentukan Hasil Kali Titik

Misalkan u = <2, –2>, v = <5, 8>, dan w = <–4, 3>.

  1. uv = <2, –2> ∙ <5, 8> = 2(5) + (–2)(8) = –6
  2. (uv)w = –6<–4, 3> = <24, –18>
  3. u ∙ (2v) = 2(uv) = 2(–6) = –12
  4. ||w||² = ww = <–4, 3> ∙ <–4, 3> = (–4)( –4) + (3)(3) = 25

Patut dicatat bahwa hasil pada bagian (2) adalah kuantitas vektor, sedangkan hasil pada bagian lain adalah kuantitas skalar.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , | 1 Komentar