Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Penerapan Turunan: Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk melakukan hal-hal berikut.

  1. Menentukan selang di mana suatu fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah.
  2. Menemukan titik belok grafik suatu fungsi.
  3. Menerapkan Uji Turunan Kedua untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi.

Kecekungan-01

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

  1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
  2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Cekung ke Atas dan Bawah

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

Contoh Fungsi

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

Contoh Turunan Fungsi

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Ilustrasi Menentukan Selang

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.


Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

  1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
  2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama

Dalam suatu fungsi, kita mengenal dua jenis karakteristik fungsi tersebut, yaitu fungsi naik dan fungsi turun. Kadang kita bisa mengatakan bahwa suatu fungsi itu selalu naik, atau selalu turun. Sering juga kita menjumpai suatu fungsi yang naik pada selang tertentu, tetapi juga turun pada selang yang lain. Hal-hal itulah yang akan kita diskusikan pada pembahasan ini. Setelah membaca pembahasan ini, diharapkan kita dapat memiliki kemampuan berikut.

  1. Menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun.
  2. Menerapkan Uji Turunan Pertama untuk menemukan nilai ekstrim lokal suatu fungsi.

Fungsi Naik dan Turun

Fungsi Naik dan Turun

Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.


Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).


Fungsi Naik, Konstan, dan TurunSuatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.


Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

  1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
  2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
  3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

Pembuktian

Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

f'(c)

Karena f ’(c) > 0 dan x2x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

f'(c)

Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Penerapan Turunan: Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata

Seperti yang tertulis pada judul, pada pembahasan ini kita akan membahas dua topik. Setelah pembahasan ini diharapkan kita memiliki kemampuan sebagai berikut.

  1. Memahami dan menggunakan Teorema Rolle.
  2. Memahami dan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata.

Rolle's Theorem-01

Teorema Rolle

Teorema Nilai Ekstrim menyatakan bahwa suatu fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] harus memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut. Kedua nilai tersebut dapat terjadi pada ujung selang. Teorema Rolle memberikan kondisi yang menjamin keberadaan nilai ekstrim dalam interior suatu selang tertutup.

Teorema Rolle

Misalkan f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat minimal satu bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga f ’(c) = 0.

Pembuktian Misalkan f(a) = d = f(b).

Kasus 1: Jika f(x) = d untuk semua x dalam [a, b], maka f konstan pada selang tersebut dan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b).

Kasus 2: Misalkan f(x) > d untuk beberapa x dalam (a, b). Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrim, kita tahu bahwa f memiliki nilai maksimum pada c dalam selang tersebut. Selanjutnya, karena f(c) > d, nilai maksimum ini tidak terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai maksimum dalam selang buka (a, b). Hal ini mengakibatkan f(c) merupakan nilai maksimum lokal dan c merupakan nilai kritis f. Oleh karena itu, karena f terdiferensialkan pada c, kita dapat menarik kesimpulan bahwa f ’(c) = 0.

Kasus 3: Misalkan f(x) < d untuk beberapa x dalam (a, b). Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrim, kita tahu bahwa f memiliki nilai minimum pada c dalam selang tersebut. Lebih jauh, karena f(c) < d, nilai minimum tidak terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai minimum dalam selang buka (a, b). Hal ini mengakibatkan f(c) merupakan nilai minimum lokal dan c merupakan nilai kritis f. Sehingga, karena f terdiferensialkan pada c, kita dapat menyimpulkan bahwa f ’(c) = 0.

Berdasarkan Teorema Rolle, kita dapat melihat bahwa jika suatu fungsi f kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada (a, b), dan jika f(a) = f(b), maka terdapat minimal satu nilai x antara a dan b sedemikian sehingga grafik f memiliki garis singgung horizontal (perhatikan gambar (a) di bawah). Ketika syarat keterdiferensialan tidak dipenuhi dalam Teorema Rolle, f masih memiliki nilai kritis dalam (a, b), tetapi tidak menghasilkan suatu garis singgung horizontal. Seperti yang ditunjukkan oleh gambar (b) di bawah ini.

Ilustrasi Teorema Rolle

Contoh 1: Ilustrasi Teorema Rolle

Tentukan dua titik potong terhadap sumbu-x dari fungsi f(x) = x² + 4x + 3 dan tunjukkan bahwa f ’(x) = 0 pada suatu titik di antara kedua titik potong tersebut.

Pembahasan Perhatikan bahwa f terdiferensialkan pada seluruh garis bilangan real. Dengan membuat nol f(x) kita mendapatkan

Contoh 1 Pembuat Nol

Sehingga, f(–3) = f(–1) = 0, dan berdasarkan Teorema Rolle kita tahu bahwa ada minimal satu nilai c dalam selang (–3, –1) sedemikian sehingga f ’(c) = 0. Untuk menentukan c tersebut, turunkan f untuk mendapatkan

Contoh 1 Turunan

kemudian selanjutnya kita tentukan f ’(x) = 0 ketika x = –2. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa nilai x tersebut terletak dalam selang (–3, –1), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Contoh 1

Teorema Rolle menyatakan bahwa ketika f memenuhi kondisi teorema, maka harus ada minimal satu titik antara a dan b sedemikian sehingga turunannya nol. Tentu saja mungkin ada lebih dari satu titik yang seperti itu, yang dapat diilustrasikan oleh Contoh 2 berikut.

Contoh 2: Ilustrasi Teorema Rolle

Misalkan f(x) = x4 – 2x². Tentukan semua nilai c pada selang (–2, 2) sedemikian sehingga f ’(c) = 0.

Pembahasan Untuk memulai, perhatikan bahwa fungsi yang diberikan memenuhi kondisi dalam Teorema Rolle, yaitu bahwa f kontinu pada selang [–2, 2] dan terdiferensialkan pada selang (–2, 2). Selanjutnya, karena f(–2) = f(2) = 8, kita dapat menarik kesimpulan bahwa ada minimal satu nilai c dalam (–2, 2) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Karena

Contoh 2 Turunan

dengan mengenolkan turunan fungsi tersebut maka dihasilkan

Contoh 2 Pembuat Nol Turunan

Sehingga, dalam selang (–2, 2), turunan fungsi yang diberikan akan bernilai nol pada tiga tiga nilai yang berbeda, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Contoh 2

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Penerapan Turunan: Nilai Ekstrim Fungsi pada Suatu Selang

Pada pembahasan ini kita akan membahas tiga hal mengenai nilai ekstrim suatu fungsi. Setelah mempelajari pembahasan ini, kita diharapkan menguasai tiga kemampuan sebagai berikut.

  1. Memahami definisi nilai ekstrim suatu fungsi pada selang tertentu.
  2. Memahami definisi nilai ekstrim lokal suatu fungsi pada selang buka.
  3. Menemukan nilai ekstrim pada selang tutup.

Nilai Ekstrim Suatu Fungsi

Dalam kalkulus, sering kita diminta untuk menentukan karakteristik suatu fungsi f pada selang I. Apakah f memiliki nilai maksimum pada I? Apakah f memiliki nilai minimum pada I? Di manakah fungsi tersebut naik? Di manakah fungsi tersebut turun? Pada pembahasan ini kita akan menggunakan turunan untuk mencoba menjawab sebagian pertanyaan-pertanyaan tersebut.


Definisi Nilai Ekstrim

Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.

  1. f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I.
  2. f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.

Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai nilai ekstrim suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung selang disebut nilai ekstrim ujung.


Ilustrasi Maksimum dan Minimum

Suatu fungsi tidak harus memiliki nilai minimum atau maksimum pada selang tertentu. Sebagai contoh, pada gambar (1) dan (2) di atas, kita dapat melihat bahwa fungsi f(x) = x² + 1 memiliki minimum dan maksimum pada selang tutup [–1, 2], tetapi tidak memiliki maksimum pada selang buka (–1, 2). Selain itu, pada gambar (3), kita dapat melihat bahwa kekontinuan dapat mempengaruhi keberadaan nilai ekstrim pada suatu selang. Hal ini menghasilkan teorema berikut.

Teorema 1 Teorema Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut.

Teorema Nilai Ekstrim di atas dapat disebut sebagai teorema keberadaan karena teorema tersebut hanya menyebutkan keberadaan nilai minimum dan maksimum, tetapi tidak menunjukkan bagaimana menentukan nilai-nilai tersebut.

Nilai Ekstrim Lokal dan Nilai Kritis

Pada gambar di bawah ini, grafik f(x) = x³ – 3x² memiliki maksimum lokal pada titik (0, 0) dan minimum lokal pada titik (2, –4). Secara tidak formal, untuk suatu fungsi kontinu, kita dapat berpikir bahwa maksimum lokalnya berada pada “bukit” grafik, dan minimum lokalnya terletak pada “lembah” grafik. Bukit dan lembah seperti itu dapat terjadi dalam dua cara. Ketika bukit atau lembah tersebut halus, grafik fungsi yang memuat bukit atau lembah tersebut memiliki garis singgung horizontal pada puncak bukit atau lembah tersebut. Ketika bukit atau lembah tersebut tajam, grafik fungsi yang memuatnya tidak akan memiliki turunan pada puncak bukit atau lembah tersebut.

Bukit dan Lembah


Definisi Nilai Ekstrim Lokal

  1. Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai maksimum, maka f(c) disebut maksimum lokal f, atau kita dapat menyatakan bahwa f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).
  2. Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai minimum, maka f(c) disebut minimum lokal f, atau kita dapat mengatakan bahwa f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).

Maksimum lokal dan minimum lokal secara berturut-turut kadang disebut sebagai maksimum relatif dan minimum relatif.


Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , , , , , , , | 1 Komentar

Try Out Ujian Nasional Matematika SMA/MA IPA 2015

Untuk persiapan menghadapi Ujian Nasional (UN) 2015 SMA/MA, kami sediakan soal-soal try out bagi siswa-siswa SMA atau sederajat yang dapat digunakan sebagai latihan. Soal-soal tersebut kami kembangkan berdasarkan kisi-kisi yang telah dikeluarkan oleh BSNP untuk tahun 2015.

Berikut ini dijabarkan salah satu butir soal beserta pembahasan yang diambil dari soal-soal try out tersebut. Soal yang dimaksud merupakan soal nomor 31 tentang penerapan turunan fungsi.

Dua tiang bangunan yang memiliki tinggi 12 meter dan 28 meter letaknya bersebelahan dengan jarak 30 meter. Kedua tiang tersebut ditopang dengan kawat dari tanah sampai ujung masing-masing tiang yang terikat pada tonggak yang sama. Letak tonggak tersebut agar diperlukan kawat dengan panjang minimal adalah …

Pembahasan Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, perhatikan ilustrasi berikut.

Ilustrasi Nomor 31-01

Misalkan W adalah panjang kawat yang akan diminimalkan. Dengan menggunakan gambar di atas, kita dapat menuliskan.

Fungsi Awal

Pada soal ini, daripada menyelesaikan y ke dalam z (atau sebaliknya), kita dapat menyelesaikan y dan z ke dalam variabel ketiga, yaitu x, seperti yang ditunjukkan gambar di atas. Dari Teorema Pythagoras, kita mendapatkan

Pythagoras

yang mengakibatkan,

y dan z

Sehingga kita dapat menuliskan fungsi panjang kawat W menjadi fungsi seperti berikut.

Fungsi W

Dengan menurunkan W terhadap x, kita mendapatkan

Turunan W

Selanjutnya kita tentukan nilai minimum fungsi W dengan mengenolkan turunan pertama fungsi tersebut.

Turunan W nol

Karena x = –22,5 bukan merupakan anggota domain dan W(0) ≈ 53,04, W(9) = 50, dan W(30) ≈ 60,31, kita dapat menyimpulkan bahwa tonggak harus diletakkan 9 meter di kanan tiang yang tingginya 12 meter. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , | Tinggalkan komentar