Matematika Langkah Demi Langkah

matematika-langkah-demi-langkah-di-gramedia

Buku Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X dapat digunakan oleh siswa SMA/MA kelas X dan guru Matematika. Penyusunan buku ini didasarkan pada Kurikulum 2013 yang diproyeksikan akan digunakan oleh semua sekolah di Indonesia pada tahun ajaran 2019/2020. Sehingga, buku ini dapat digunakan dalam jangka panjang dengan pembaruan-pembaruan yang mengikuti zaman.

Tidak bisa dipungkiri bahwa perkembangan teknologi informasi akan memiliki dampak terhadap proses belajar mengajar di sekolah. Oleh karena itu, sebagai penunjang buku ini, penulis juga mengembangkan website pendamping KristantoMath.com yang dapat digunakan oleh siswa sebagai sarana belajar.


devices-01Website Pendamping Belajar

Pendamping pembelajaran Matematika berbasis website, berguna untuk memudahkan siswa memahami materi pelajaran Matematika.


play-01Video Pembahasan Matematika

Video pembahasan soal Matematika dalam website disajikan langkah demi langkah sehingga siswa menjadi lebih paham menyelesaikan soal.


internet-01Web Based Activity

Pembelajaran interaktif berbasis website yang menarik, berguna memperdalam pemahaman siswa terhadap pelajaran Matematika.


Buku Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X tersedia dalam bentuk buku elektronik dan buku cetak. Kedua jenis buku ini dapat dipesan melalui website Gramedia.com. Buku cetak juga dapat dibeli di toko Gramedia terdekat.

Iklan
Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Perangkat Pembelajaran, Portofolio, Trigonometri | Tag , , , , | 6 Komentar

Simpangan Baku

Simpangan baku adalah ukuran penyebaran nilai-nilai terhadap rata-ratanya.

Data tidak bisa berbicara dengan sendirinya. Kita harus mengorganisasi data tersebut agar orang lain dapat memahaminya dengan mudah dan cepat. Beberapa jenis diagram sering digunakan untuk menyajikan data, misalnya diagram batang, diagram lingkaran, dan histogram. Statistik seperti rata-rata, median, dan modus juga mungkin sudah familiar ketika kita ingin merangkum data. Ketiga statistik tersebut bisa meringkas sebaran suatu data menjadi satu nilai yang mudah kita pahami. Apakah dengan rata-rata, median, atau modus sudah cukup bagi kita untuk bisa memahami data? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita perhatikan ilustrasi cerita berikut.

Bayangkan Anda sekarang sedang lapar, sehingga Anda berusaha untuk mencari restoran di sekitar Anda. Setelah mencari-cari, Anda menemukan dua restoran beserta dengan rata-rata waktu tunggunya. Dua restoran tersebut memiliki rata-rata waktu tunggu yang hampir sama. Restoran pertama rata-rata waktu tunggunya 14,04 menit sedangkan restoran kedua memiliki rata-rata waktu tunggu 14,02 menit. Apakah hanya dengan menggunakan nilai rata-rata ini Anda bisa menilai layanan kedua restoran tersebut? Karena kedua nilai rata-rata tersebut hampir sama, maka kita tidak bisa menggunakannya sebagai satu-satunya alat ukur layanan restoran. Kita membutuhkan suatu nilai yang bisa mengukur seberapa beragam sebaran waktu tunggu kedua restoran tersebut. Salah satu nilai yang bisa digunakan untuk mengukur hal ini adalah simpangan baku.

Sebaran Waktu Tunggu

Sekarang bandingkan bentuk sebaran pada dua gambar di atas. Kita dapat memperhatikan bahwa sebaran waktu tunggu restoran kedua lebih datar daripada restoran pertama. Hal ini dikarenakan waktu tunggu restoran kedua lebih menyebar atau beragam daripada restoran pertama. Dengan kata lain, restoran kedua lebih banyak memiliki nilai dalam interval bawah dan atas, serta lebih sedikit memiliki nilai dalam interval tengah. Sebaliknya, restoran pertama lebih konsisten dalam hal waktu tunggu. Waktu tunggu restoran ini lebih mengerucut di sekitar nilai rata-ratanya. Meskipun kedua restoran tersebut memiliki nilai rata-rata waktu tunggu yang hampir sama, akan tetapi penyebaran datanya sangatlah berbeda. Dengan mengetahui hal ini, resoran mana yang akan Anda pilih?

Jika Anda adalah tipe orang yang menginginkan kepastian, tentu saja Anda akan memilih restoran pertama karena variasi waktu tunggunya tidaklah besar.

Salah satu ukuran yang biasa digunakan untuk mengukur variasi dari suatu data adalah simpangan baku. Pada pembahasan berikutnya kita akan berlatih bagaimana menentukan nilai simpangan baku untuk sampel dan populasi.

Bagaimana cara menghitung simpangan baku dari suatu sampel?

Untuk menentukan nilai simpangan baku dari suatu sampel, lakukan langkah-langkah berikut.

  1. Hitunglah rata-rata semua nilai sampel.
  2. Kurangi masing-masing nilai sampel dengan rata-rata. Langkah ini akan menghasilkan daftar simpangan semua nilai terhadap rata-ratanya.
  3. Kuadratkan masing-masing simpangan yang diperoleh pada langkah kedua.
  4. Jumlahkan semua nilai kuadrat yang telah diperoleh pada langkah ketiga.
  5. Bagilah jumlah pada langkah keempat dengan n – 1, yaitu 1 kurangnya dari banyaknya nilai-nilai dalam sampel.
  6. Carilah akar kuadrat dari hasil yang didapatkan pada langkah kelima. Di sini kita sudah mendapatkan simpangan baku.

Secara ringkas kita bisa menghitung simpangan baku dari suatu sampel dengan menggunakan satu dari rumus-rumus berikut.

s=\sqrt{{\frac{{\sum{{{{{\left( {x-\bar{x}} \right)}}^{2}}}}}}{{n-1}}}} atau s=\sqrt{{\frac{{n\sum{{\left( {{{x}^{2}}} \right)-{{{\left( {\sum{x}} \right)}}^{2}}}}}}{{n\left( {n-1} \right)}}}}

Rumus pertama ini adalah rumus yang telah dijelaskan penggunaannya pada langkah 1 sampai langkah 6 di bagian sebelumnya, sedangkan rumus kedua ini sering disebut dengan rumus cepat menghitung simpangan baku karena kita tidak perlu untuk menentukan rata-rata sampel terlebih dahulu. Untuk lebih memahami bagaimana menggunakan kedua rumus tersebut untuk menentukan simpangan baku sampel, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal: Menghitung Simpangan Baku Sampel

Gunakan kedua rumus untuk menentukan simpangan baku dari nilai-nilai sampel 3, 8, dan 13.

Rumus 1 Untuk menggunakan rumus pertama, pertama kita hitung terlebih dahulu rata-rata dari nilai-nilai yang diberikan. Rata-rata dapat ditentukan dengan membagi jumlah semua nilai dengan banyaknya nilai-nilai tersebut.

\bar{x}=\frac{{\sum{x}}}{n}=\frac{{3+8+13}}{3}=\frac{{24}}{3}=8

Selanjutnya kita kurangi masing-masing nilai dengan rata-ratanya. Dengan demikian kita peroleh 3 – 8 = –5, 8 – 8 = 0, dan 13 – 8 = 5. Kuadrat dari masing-masing simpangan tersebut adalah (–5)2 = 25, 02 = 0, dan 52 = 25. Jumlah dari semua nilai kuadrat ini adalah 25 + 0 + 25 = 50. Karena banyaknya nilai dalam sampel adalah n = 3, maka berikutnya kita bagi 50 dengan n – 1 = 2 untuk mendapatkan 50/2 = 25. Dengan demikian simpangan bakunya adalah akar kuadrat dari 25 yang sama dengan 5.

Rumus 2 Untuk menggunakan rumus kedua, kita memerlukan tiga nilai, yaitu n, Σx dan Σx2.

n = 3
Σx = 3 + 8 + 13 = 24
Σx2 = 32 + 82 + 132 = 242

Dengan demikian, simpangan baku sampel yang diberikan dapat ditentukan sebagai berikut.

s=\sqrt{{\frac{{n\sum{{\left( {{{x}^{2}}} \right)-{{{\left( {\sum{x}} \right)}}^{2}}}}}}{{n\left( {n-1} \right)}}}}=\sqrt{{\frac{{3\left( {242} \right)-{{{\left( {24} \right)}}^{2}}}}{{3\left( {3-1} \right)}}}}=5

Bagaimana cara menghitung simpangan baku dari suatu populasi?

Dua rumus yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan rumus simpangan baku untuk sampel. Rumus yang sedikit berbeda digunakan untuk menghitung simpangan baku populasi, yang dinotasikan dengan σ (sigma). Rumus simpangan baku populasi diberikan sebagai berikut.

\sigma =\sqrt{{\frac{{\sum{{{{{\left( {x-\mu } \right)}}^{2}}}}}}{N}}}

Berdasarkan rumus tersebut, kita dapat menentukan simpangan baku populasi dengan mengakarkan hasil bagi antara jumlah kuadrat simpangan semua nilai dalam populasi dengan rata-ratanya dan ukuran populasi tersebut.

Mengapa rumus simpangan baku sampel dan populasi berbeda?

Untuk mengetahui mengapa rumus simpangan baku sampel pembaginya adalah n – 1 (tidak seperti pembagi pada rumus simpangan populasi yang sama dengan N), perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan kita memiliki populasi yang terdiri dari empat nilai, yaitu 1, 3, 10, dan 14. Nilai simpangan baku populasi ini adalah σ = 5,24.

Asumsikan sampel yang terdiri dari 3 nilai diambil secara acak dari populasi tersebut dengan pengembalian. Dengan demikian kita mendapatkan 43 = 64 kemungkinan sampel. Dari semua kemungkinan tersebut, kita akan mencoba menggunakan rumus simpangan baku dengan pembagi n dan n – 1. Unduhlah tabel di bawah untuk mengetahui simpangan baku dari semua kemungkinan sampelnya.

Unduh lampiran tabel di sini.

Setelah semua simpangan baku dari dua rumus sudah dihitung, selanjutnya kita dapat menghitung rata-rata dari masing-masing simpangan baku tersebut. Nilai rata-rata ini juga sudah tersedia pada tabel di atas. Manakah dari dua rata-rata simpangan baku tersebut yang lebih baik untuk memperkirakan simpangan baku dari populasi σ = 5,24? Jawabannya adalah rumus simpangan baku dengan pembagi n – 1. Itulah mengapa rumus simpangan baku pada sampel memiliki pembagi n – 1. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Statistika | Tag , , , , , , , , | 1 Komentar

Download Modul Pecahan

Modul guru untuk materi pecahan ini menggunakan pendekatan konseptual dalam menjelaskan topik-topik dalam pecahan

Tujuan utama dikembangkannya modul pecahan ini adalah untuk menyediakan (1) pemahaman konseptual mengenai topik-topik pecahan, (2) pengetahuan pecahan secara umum, serta (3) ide dan metode inovatif pembelajaran pecahan yang berbasis pendekatan saintifik. Oleh karena itu, di awal modul ini disediakan pengetahuan umum mengenai pembelajaran saintifik. Setelah itu, dalam modul ini dikenalkan konsep-konsep pecahan yang dijelaskan dengan menggunakan pendekatan konseptual. Di akhir modul terdapat contoh pembelajaran inovatif yang mungkin dapat diadaptasi oleh guru untuk diterapkan dalam kelasnya. Contoh pembelajaran tersebut penulis dapat dari artikel Sweet Work with Fractions yang ditulis oleh Natalya Vinogradova dan Larry Blaine dalam jurnal Mathematics Teaching in the Middle School Vol. 18 No. 8. Artikel tersebut juga telah penulis ulas dalam tulisan Membandingkan Pecahan dengan Game.

Topik-topik yang dijelaskan dalam modul ini adalah (1) terminologi pecahan, (2) konsep-konsep pecahan, (3) pecahan-pecahan senilai, (4) menyamakan penyebut, (5) membandingkan pecahan, dan (6) operasi-operasi pecahan.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas VII, Materi SMP, Perangkat Pembelajaran | Tag , , , , , , , , , , , , , , , , , | 2 Komentar

Mengapa Matematika Langkah Demi Langkah?

Video | Posted on by | Tag , , , | 1 Komentar

Bermain Sulap: Kuadrat Bilangan

Kuadrat suatu bilangan dapat ditentukan secara cepat jika digunakan perkalian bilangan kelipatan 10.

Pola-pola bilangan yang menarik mungkin saja sering kita jumpai di sekitar kita. Di sini kita akan melihat pola hasil kali dua bilangan yang dijumlahkan sama dengan 20. Perhatikan pola berikut.

Selisih terhadap 100

10 × 10 = 100
9 × 11 = 99

1

8 × 12 = 96

4

7 × 13 = 91

9

6 × 14 = 84

16

5 × 15 = 75

25

Adakah pola yang terlihat dalam tabel di atas? Ya, semakin jauh kita pilih bilangan dari 10, maka hasil kalinya juga akan semakin jauh dengan 100. Kemudian, seberapa jauh hasil kali bilangan-bilangan tersebut dengan 100? Jaraknya terhadap 100 adalah 1, 4, 9, 16, 25, … yang bisa dituliskan menjadi 1², 2², 3², 4², 5², …. Mungkin kita bertanya lagi. Apakah pola ini selalu berlaku? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita coba contoh lainnya. Kita pilih dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46 sebagai contoh kita berikutnya.

Selisih terhadap 529

23 × 23 = 529

22 × 24 = 528

1

21 × 25 = 525

4

20 × 26 = 520

9

19 × 27 = 513

16

18 × 28 = 504

25

Sekali lagi, kita bisa melihat bahwa pola yang telah kita temukan juga berlaku untuk dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46. Hasil kali dua bilangan tersebut akan maksimal jika dua bilangan tersebut sama/kembar, kemudian hasil kali tersebut akan turun sebesar 1, 4, 9, 16, 25, dan seterusnya. Berdasarkan dua contoh sebelumnya, kita telah yakin bahwa pola tersebut berlaku secara umum. Kemudian, kita dapat melihat bahwa pola yang telah kita temukan dapat kita gunakan untuk menentukan kuadrat suatu bilangan.

Misalkan kita akan tentukan kuadrat dari 23. Untuk melakukannya, kita tidak perlu melakukan perkalian 23 × 23, akan tetapi kita pilih perkalian yang lebih mudah, yaitu 20 × 26 = 520. Hasil kali ini dekat dengan jawaban yang kita cari, akan tetapi karena kita telah turun dan naik sejauh 3 satuan dari 23, maka kita jumlahkan hasil kali tersebut dengan 3². Sehingga

23² = 20 × 26 + 3² = 520 + 9 = 529

Mari kita coba contoh lainnya. Kita hitung 98 × 98 dengan menggunakan metode ini. Untuk melakukannya, kita naik 2 satuan untuk menuju 100 dan turun dua satuan untuk menuju 96, kemudian kita jumlahkan hasil kali kedua bilangan tersebut dengan 2².

98² = 100 × 96 + 2² = 9604

Jika kita mengkuadratkan bilangan yang memiliki angka terakhir 5, kita dapat melakukannya dengan mudah, karena jika kita naik dan turun 5 satuan dari bilangan tersebut, maka kita akan peroleh bilangan yang memiliki angka terakhir 0. Perhatikan contoh berikut.

45² = 40 × 50 + 5² = 2000 + 25 = 2025
65² = 60 × 70 + 5² = 4200 + 25 = 4225
85² = 80 × 90 + 5² = 7200 + 25 = 7225

Terakhir, kita akan mencoba untuk menghitung kuadrat dari 49. Dengan naik dan turun sejauh 1 satuan, kita peroleh 49² = 50 × 48 + 1². Lalu bagaimana kita menghitung 50 × 48 tanpa menulis perkalian bersusun pada kertas? Abaikan angka 0 pada bilangan 50 dan hitung 5 × 48. Sekarang kita hitung 5 × 40 = 200 dan 5 × 8 = 40. Kita jumlahkan bilangan-bilangan tersebut dan diperoleh 240. Jadi, 50 × 48 = 2400, dan didapatkan

49² = 50 × 48 + 1² = 2400 + 1 = 2401


Sekarang kita akan menjelaskan secara aljabar mengapa metode yang kita lakukan sebelumnya dapat digunakan.

A² = (A + b)(A − b) + b²

dimana A adalah bilangan yang akan dikuadratkan, dan b adalah jarak ke bilangan kelipatan 10 terdekat. Misalkan, jika ketika mengkuadratkan 49, A = 49 dan b = 1, sehingga dengan rumus ini 49² = (49 + 1)(49 − 1) + 1², seperti yang telah kita lakukan pada perhitungan terakhir. Semoga bermanfaat, yos3prens.


RUJUKAN:
Benjamin, Arthur. (2015). The Magic of Math: Solving for x and Figuring Out Why. New York: Basic Books

Dipublikasi di Kelas IV, Materi SD | Tag , , , , | 3 Komentar