Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Try Out Ujian Nasional Matematika SMP/MTs 2015

Sebagai persiapan untuk menghadapi Ujian Nasional (UN) SMP/MTs tahun pelajaran 2014 – 2015, kami menyediakan soal-soal try out yang mungkin dapat digunakan sebagai latihan. Soal-soal ini kami susun berdasarkan indikator-indikator yang telah dikeluarkan oleh Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP) untuk tahun pelajaran 2014 – 2015.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas IX, Materi SMP | Tag , , , | Tinggalkan komentar

Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Rangkap

Kita akan memulai pembahasan ini dengan menurunkan rumus-rumus untuk sin 2A dan cos 2A dengan menggunakan rumus-rumus sin (A + B) dan cos (A + B). Rumus-rumus untuk sin 2A dan cos 2A disebut sebagai rumus-rumus sudut rangkap. Berikut ini dijabarkan bagaimana kita menurunkan rumus sin 2A.

Sinus Sudut Rangkap

Baris terakhir tersebut memberikan kita rumus sudut rangkap yang pertama.

Rumus Sinus Sudut Rangkap

Hal pertama yang harus dicatat pada rumus di atas adalah bahwa 2 pada sin 2A tidak dapat difaktorkan keluar dan ditulis sebagai koefisien. Apabila dituliskan,

Catatan Sinus Sudut Rangkap

Sebagai contoh, jika A = 30°, sin 2 ∙ 30° = sin 60° = √3/2, yang tidak sama dengan 2 sin 30° = 2 ∙ ½ = 1.

Contoh 1: Menentukan Nilai Sinus Sudut Rangkap

Jika sin A = 4/5 dengan A berada pada kuadran II, tentukan sin 2A.

Pembahasan Untuk menerapkan rumus sin 2A, pertama kita harus tentukan nilai cos A terlebih dahulu. Karena A terletak pada kuadran II, maka nilai cos A negatif.

Contoh 1 Cos A

Sekarang kita dapat menerapkan rumus sin 2A.

Contoh 1 Sin 2A


Kita juga dapat menggunakan rumus sudut rangkap untuk membuktikan suatu identitas trigonometri.

Contoh 2: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan (sin θ + cos θ)² = 1 + sin 2θ.

Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, pertama kita ekspansi bentuk yang ada pada ruas kiri.

Contoh 2


Contoh 3: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa,

Contoh 3 Soal

Pembahasan Karena bentuk yang ada pada ruas kanan lebih rumit daripada yang sebelah kiri, maka kita membuktikan identitas ini dari ruas kanan.

Contoh 3 Pembahasan

Dipublikasi di Kelas XI, Materi SMA | Tag , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Identitas Trigonometri

Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi

Fungsi 1

dan

Fungsi 2

yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Grafik

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai x,

Contoh Identitas

Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali ini. Gambar berikut ini mendaftar delapan identitas trigonometri dasar.

Identitas Trigonometri

Catatan Tiga identitas pertama (dalam kotak warna orange) disebut sebagai identitas kebalikan. Dua identitas selanjutnya (dalam kotak warna hijau) disebut sebagai identitas rasio. Sedangkan, tiga identitas terakhir (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Dua identitas Pythagoras terakhir dapat diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ + sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan cos² θ, kita mendapatkan

Identitas Pythagoras

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk mendapatkan 1 + cot² θ = csc² θ.

Setelah mengetahui kedelapan identitas trigonometri dasar di atas, selanjutnya kita akan menggunakan identitas-identitas tersebut, bersama dengan pengetahuan kita mengenai aljabar, untuk membuktikan identitas-identitas lainnya.

Ingat bahwa identitas trigonometri merupakan pernyataan yang memuat kesamaan dua bentuk untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita gunakan substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan

  1. Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau
  2. Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.

Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas—seperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.

Kita membuktikan identitas trigonometri untuk membangun kemampuan kita dalam mengubah satu bentuk trigonometri menjadi bentuk lainnya. Ketika kita bertemu dengan permasalahan dalam topik lain yang membutuhkan teknik pembuktian identitas, kita biasanya menemukan bahwa solusi permasalahan tersebut bergantung kepada bagaimana mengubah bentuk yang memuat trigonometri tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita tidak harus selalu bekerja dengan persamaan.

Contoh 1: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.

Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Contoh 1 Pembahasan

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.

Contoh 2: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).

Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

Contoh 2 Pembahasan

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.

Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.


Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

  1. Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
  2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
  3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
  4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
  5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam membuktikan identitas trigonometri adalah dengan banyak latihan. Semakin banyak identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin ahli dan percaya diri dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya. Kita tidak boleh takut untuk berhenti kemudian memulai kembali jika langkah-langkah kita menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih panjang dari pembuktian yang lain.

Dipublikasi di Kelas X, Materi SMA | Tag , , , , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

10+ Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

Terdapat berbagai macam fungsi trigonometri yang sering muncul dalam permasalahan limit. Pada pembahasan ini akan didiskusikan bagaimana menyelesaikan permasalahan limit fungsi trigonometri untuk x (atau variabel lainnya) mendekati nol. Sifat-sifat berikut kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan.

Rumus Limit Trigonometri

Soal 1: Menghitung Limit Fungsi Trigonometri

Hitunglah,

Soal 1

Pembahasan Sebelum kita menentukan nilai eksak limit fungsi trigonometri tersebut, kita akan perkirakan nilai limit tersebut dengan menggunakan tabel. Tabel tersebut dengan mudah dapat dibuat di Ms. Excel.

Soal 1 Tabel

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat memperkirakan bahwa nilai limit fungsi tersebut adalah 4. Selanjutnya kita tentukan nilai limitnya dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri.

Soal 1 Pembahasan

Jadi, limit fungsi trigonometri yang diberikan adalah 4.

Soal 2: Limit Fungsi Trigonometri

Tentukan nilai,

Soal 2

Pembahasan Kita perkirakan terlebih dahulu nilai limit fungsi tersebut dengan menggunakan tabel.

Soal 2 Tabel

Dari tabel di atas, kita bisa memperkirakan nilai limit fungsi yang diberikan adalah 0,222 atau 2/9. Selanjutnya, kita tentukan nilai limitnya dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri.

Soal 2 Pembahasan

Jadi, kita peroleh nilai limit fungsi yang diberikan adalah 2/9.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , , , | 1 Komentar

Limit Fungsi Trigonometri

Permasalahan limit muncul ketika kita akan menentukan garis singgung suatu kurva atau kecepatan dari suatu objek. Sekarang, secara lebih khusus, kita akan menentukan limit fungsi trigonometri. Perhatikan Contoh 1 berikut.

Tabel Trigonometri

Contoh 1: Limit Fungsi Sinus

Tebaklah nilai,

Contoh 1

Pembahasan Fungsi f(x) = (sin x)/x tidak terdefinisi ketika x = 0. Dengan menggunakan Ms. Excel (dan ingat, jika x anggota bilangan real, maka sin x berarti nilai sinus sudut x yang diukur dengan satuan radian), kita dapat membuat tabel nilai (sin x)/x seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Contoh 1 Tabel

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menebak bahwa

Contoh 1 Tebakan

Tebakan tersebut sebenarnya sudah tepat, seperti yang akan kita buktikan dengan menggunakan argumen geometris pada Contoh 2.

Contoh 1 Grafik

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , | Tinggalkan komentar