Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Beberapa proses yang terjadi di sekitar kita, seperti pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, penyebaran kalor, dan banyak lagi lainnya, dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai pemodelan eksponensial dan logaritma. Secara khusus, pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal berikut ini.

Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Pendahuluan

Lima jenis model matematis yang paling umum berkaitan dengan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma adalah sebagai berikut.

  1. Model pertumbuhan eksponensial:
    Model 1
  2. Model penurunan eksponensial:
    Model 2
  3. Model Gaussian:
    Model 3
  4. Model pertumbuhan logistik:
    Model 4
  5. Model logaritma:
    Model 5

Bentuk dasar dari grafik fungsi-fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1

Seringkali kita dapat melihat bahwa suatu permasalahan dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial atau logaritma jika kita bisa mengidentifikasi asimtot dari grafik yang diberikan (atau yang kita gambar).

Pertumbuhan dan Penuruan Eksponensial

Contoh 1: Memodelkan Pertumbuhan dan Penurunan Populasi

Tabel berikut ini menunjukkan jumlah penduduk tengah tahun (dalam jutaan) dari lima negara di tahun 2010 dan jumlah penduduk yang diproyeksikan (dalam jutaan) untuk tahun 2020. (Sumber: Wolfram Research.)

Contoh 1 Tabel 1

  1. Carilah model pertumbuhan atau penurunan eksponensial y = aebt atau y = aebt untuk masing-masing negara dengan memisalkan t = 10 untuk tahun 2010. Gunakan model ini untuk memprediksi jumlah penduduk pada masing-masing negara pada tahun 2030.
  2. Kita dapat melihat bahwa laju pertumbuhan penduduk di Indonesia berbeda dengan di Amerika Serikat. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang memberikan laju pertumbuhan penduduk? Apakah hubungan antara laju pertumbuhan penduduk yang berbeda dengan besar konstanta tersebut?
  3. Kita juga dapat melihat bahwa jumlah penduduk di Cina naik, sedangkan jumlah penduduk di Bulgaria turun. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang menunjukkan perbedaan ini? Jelaskan.

Pembahasan Untuk masing-masing negara, misalkan y merupakan jumlah penduduk setelah t tahun.

  1. Pertama kita cari model pertumbuhan penduduk pada negara Bulgaria. Dari tabel kita dapat melihat bahwa ketika t = 10 diketahui y = 7,5 dan ketika t = 20 diketahui y = 7,1. Sehingga kita peroleh
    Contoh 1-1 Substitusi
    Untuk menyelesaikan b, kita selesaikan a pada persamaan pertama.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan a
    Kemudian kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan kedua.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan b
    Dengan menggunakan b = (1/10)ln(7,1/7,5) dan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan
    Contoh 1-1 Nilai a
    Sehingga, dengan a ≈ 7,92 dan b = (1/10) ln(7,1/7,5) ≈ –0,0055, model eksponensial pertumbuhan penduduk negara Bulgaria adalah
    Contoh 1-1 Model
    Dengan cara yang sama, kita mendapatkan model pertumbuhan penduduk untuk negara-negara lainnya. Model-model tersebut dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.
    Contoh 1-1 Tabel 2
  2. Dari model yang diperoleh kita dapat melihat bahwa yang mempengaruhi besar kecilnya laju pertumbuhan penduduk adalah konstanta b, yaitu 0,0099 untuk Indonesia dan 0,0116 untuk Amerika Serikat. Semakin besar konstanta b, maka semakin tinggi juga laju pertumbuhan penduduknya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa laju pertumbuhan penduduk di Amerika Serikat lebih tinggi daripada Indonesia.
  3. Konstanta yang mempengaruhi turun naiknya pertumbuhan penduduk adalah konstanta b. Dalam tabel kita dapat melihat bahwa konstanta b pada model pertumbuhan penduduk di Cina adalah 0,0050 (positif) dan di Bulgaria adalah –0,0055 (negatif). Jika pangkat e positif maka nilai y akan naik, karena y = aebt dengan ebt > 1. Sebaliknya jika pangkat e negatif maka nilai y akan turun karena y = ae–bt dapat dituliskan menjadi y = a/ebt. Dengan kata lain, y merupakan hasil bagi a dengan bilangan ebt > 1, sehingga nilai y akan semakin kecil.
Iklan
Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA | Tag , , , , , , , , , , , | 3 Komentar

Persamaan Eksponensial dan Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar prosedur dalam menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Sehingga setelah mempelajari hal ini, diharapkan nanti kita dapat

Sampul

Pendahuluan

Terdapat dua strategi dasar dalam menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma. Strategi pertama didasarkan pada Sifat Satu-Satu dan strategi yang kedua didasarkan pada Sifat Invers. Untuk a > 0 dan a ≠ 1, sifat-sifat berikut ini benar untuk semua x dan y sedemikian sehingga loga x dan loga y terdefinisi.

Sifat Satu-Satu
ax = ay jika dan hanya jika x = y.
loga x = loga y jika dan hanya jika x = y.

Sifat Invers
aloga x = x.
loga ax = x.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Sederhana

Tabel berikut menunjukkan bagaimana cara menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma sederhana.

Contoh 1

Strategi-strategi yang digunakan dalam Contoh 1 dapat dirangkum sebagai berikut.


Strategi dalam Menyelesaikan Persamaan Eksponensial dan Logaritma

  1. Tulislah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk yang memperbolehkan penggunaan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial atau logaritma.
  2. Tulislah persamaan eksponensial ke dalam bentuk logaritma dan terapkan Sifat Invers fungsi logaritma.
  3. Tulislah persamaan logaritma ke dalam bentuk eksponensial dan terapkan Sifat Invers fungsi eksponensial.

Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan persamaan-persamaan

Contoh 2 P1

dan

Contoh 2 P2

dan jika perlu dekatilah hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Tampak jelas bahwa pada persamaan pertama kita perlu untuk menggunakan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial.

Contoh 2-1

Sehingga selesaian persamaan pertama adalah x = –1 dan x = 4. Selanjutnya kita selesaikan persamaan yang kedua.

Contoh 2-2

Jadi, selesaian persamaan kedua adalah x = log2 14 ≈ 3,807.

Dalam Contoh 2(b), selesaian eksaknya adalah x = log2 14, dan selesaian taksirannya adalah x ≈ 3,807. Jawaban eksak digunakan ketika selesaian tersebut akan digunakan lagi pada masalah yang lebih besar. Untuk jawaban akhir, selesaian taksiran lebih mudah dipahami.

Contoh 3: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan ex + 5 = 50 dan tentukan hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Pertama kita pisahkan bentuk eksponensial dengan suku-suku lainnya.

Contoh 3

Sehingga selesaian persamaan yang diberikan adalah x = ln 55 ≈ 4,007.

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , | 2 Komentar

25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk membuktikan suatu pernyataan matematis dengan menggunakan induksi matematika. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif.

Sampul


Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

  1. P(1) benar, dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

  1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
  2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
  3. P(k): k + 3 < 5k²
  4. P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

  1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
    Soal 1-1
  2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
    Soal 1-2
  3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
    Soal 1-3
  4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
    Soal 1-4

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Soal 2

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

  1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
    Soal 2-1
  2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
    Soal 2-2 Hipotesis
    bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
    Soal 2-2

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Dipublikasi di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , | 35 Komentar

Sifat-Sifat Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai sifat-sifat logaritma. Oleh karena itu, setelah mempelajari topik ini, diharapkan nanti kita dapat:

Sampul

Sifat-Sifat Logaritma

Kita telah mengetahui bahwa fungsi logaritma dengan basis a merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial dengan basis a. Sehingga, logis jika sifat-sifat eksponen berkorespondensi dengan sifat-sifat logaritma. Misalkan, sifat eksponensial auav = au + v berkorespondensi dengan sifat logaritma loga(uv) = loga u + loga v.


Sifat-Sifat Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif sedemikian sehingga a ≠ 1, dan misalkan n adalah bilangan real. Jika u dan v adalah bilangan real positif, maka sifat-sifat berikut ini benar.

  1. loga(uv) = loga u + loga v (Sifat Perkalian)
  2. loga(u/v) = loga u – loga v (Sifat Pembagian)
  3. loga un = n loga u (Sifat Perpangkatan)

Pembuktian Kita menggunakan sifat fungsi invers, yaitu loga ax = x.

Sifat 1 Misalkan loga u = x dan loga v = y. Jika kita menuliskan bentuk ini ke dalam bentuk eksponensial, kita mendapatkan

Bukti 1 Bentuk Eksponen

Sehingga,

Bukti 1 Bentuk Logaritma

Sifat 2 Dengan menggunakan Sifat 1, kita peroleh

Bukti 2 Log u

Sehingga,

Bukti 2 Log Pembagian

Sifat 3 Misalkan loga u = x. Maka ax = u, sehingga

Bukti 3


Contoh 1: Menggunakan Sifat-Sifat Logaritma

Tentukan nilai dari masing-masing bentuk berikut ini.

  1. log4 2 + log4 32
  2. log2 80 – log2 5
  3. –1/3 log 8

Pembahasan Pertama, kita tentukan nilai log4 2 + log4 32 seperti berikut.

Contoh 1-1

Selanjutnya, kita gunakan Sifat 2 untuk menyelesaikan soal yang kedua.

Contoh 1-2

Terakhir, kita gunakan Sifat 3 untuk menentukan nilai bentuk logaritma pada soal ketiga.

Contoh 1-3

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , | 2 Komentar

Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari invers fungsi eksponensial. Oleh karena itu, setelah mempelajari hal tersebut, kita akan bisa:

Sampul

Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan loga.

Gambar 1

Fungsi invers f–1 didefinisikan sebagai

Fungsi Invers

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.


Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan loga, didefinisikan dengan

Definisi Logaritma

Sehingga loga x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.


Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma loga x = y menjadi bentuk eksponensial ay = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Bentuk Logaritma

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

Contoh 1

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , | 3 Komentar