Persamaan Eksponensial dan Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar prosedur dalam menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Sehingga setelah mempelajari hal ini, diharapkan nanti kita dapat

Sampul

Pendahuluan

Terdapat dua strategi dasar dalam menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma. Strategi pertama didasarkan pada Sifat Satu-Satu dan strategi yang kedua didasarkan pada Sifat Invers. Untuk a > 0 dan a ≠ 1, sifat-sifat berikut ini benar untuk semua x dan y sedemikian sehingga loga x dan loga y terdefinisi.

Sifat Satu-Satu
ax = ay jika dan hanya jika x = y.
loga x = loga y jika dan hanya jika x = y.

Sifat Invers
aloga x = x.
loga ax = x.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Sederhana

Tabel berikut menunjukkan bagaimana cara menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma sederhana.

Contoh 1

Strategi-strategi yang digunakan dalam Contoh 1 dapat dirangkum sebagai berikut.


Strategi dalam Menyelesaikan Persamaan Eksponensial dan Logaritma

  1. Tulislah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk yang memperbolehkan penggunaan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial atau logaritma.
  2. Tulislah persamaan eksponensial ke dalam bentuk logaritma dan terapkan Sifat Invers fungsi logaritma.
  3. Tulislah persamaan logaritma ke dalam bentuk eksponensial dan terapkan Sifat Invers fungsi eksponensial.

Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan persamaan-persamaan

Contoh 2 P1

dan

Contoh 2 P2

dan jika perlu dekatilah hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Tampak jelas bahwa pada persamaan pertama kita perlu untuk menggunakan Sifat Satu-Satu fungsi eksponensial.

Contoh 2-1

Sehingga selesaian persamaan pertama adalah x = –1 dan x = 4. Selanjutnya kita selesaikan persamaan yang kedua.

Contoh 2-2

Jadi, selesaian persamaan kedua adalah x = log2 14 ≈ 3,807.

Dalam Contoh 2(b), selesaian eksaknya adalah x = log2 14, dan selesaian taksirannya adalah x ≈ 3,807. Jawaban eksak digunakan ketika selesaian tersebut akan digunakan lagi pada masalah yang lebih besar. Untuk jawaban akhir, selesaian taksiran lebih mudah dipahami.

Contoh 3: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Selesaikan ex + 5 = 50 dan tentukan hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.

Pembahasan Pertama kita pisahkan bentuk eksponensial dengan suku-suku lainnya.

Contoh 3

Sehingga selesaian persamaan yang diberikan adalah x = ln 55 ≈ 4,007.

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , , , , , | 2 Komentar

25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk membuktikan suatu pernyataan matematis dengan menggunakan induksi matematika. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif.

Sampul


Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

  1. P(1) benar, dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

  1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
  2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
  3. P(k): k + 3 < 5k²
  4. P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

  1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
    Soal 1-1
  2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
    Soal 1-2
  3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
    Soal 1-3
  4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
    Soal 1-4

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Soal 2

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

  1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
    Soal 2-1
  2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
    Soal 2-2 Hipotesis
    bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
    Soal 2-2

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Dipublikasi di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , | 21 Komentar

Sifat-Sifat Logaritma

Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai sifat-sifat logaritma. Oleh karena itu, setelah mempelajari topik ini, diharapkan nanti kita dapat:

Sampul

Sifat-Sifat Logaritma

Kita telah mengetahui bahwa fungsi logaritma dengan basis a merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial dengan basis a. Sehingga, logis jika sifat-sifat eksponen berkorespondensi dengan sifat-sifat logaritma. Misalkan, sifat eksponensial auav = au + v berkorespondensi dengan sifat logaritma loga(uv) = loga u + loga v.


Sifat-Sifat Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif sedemikian sehingga a ≠ 1, dan misalkan n adalah bilangan real. Jika u dan v adalah bilangan real positif, maka sifat-sifat berikut ini benar.

  1. loga(uv) = loga u + loga v (Sifat Perkalian)
  2. loga(u/v) = loga u – loga v (Sifat Pembagian)
  3. loga un = n loga u (Sifat Perpangkatan)

Pembuktian Kita menggunakan sifat fungsi invers, yaitu loga ax = x.

Sifat 1 Misalkan loga u = x dan loga v = y. Jika kita menuliskan bentuk ini ke dalam bentuk eksponensial, kita mendapatkan

Bukti 1 Bentuk Eksponen

Sehingga,

Bukti 1 Bentuk Logaritma

Sifat 2 Dengan menggunakan Sifat 1, kita peroleh

Bukti 2 Log u

Sehingga,

Bukti 2 Log Pembagian

Sifat 3 Misalkan loga u = x. Maka ax = u, sehingga

Bukti 3


Contoh 1: Menggunakan Sifat-Sifat Logaritma

Tentukan nilai dari masing-masing bentuk berikut ini.

  1. log4 2 + log4 32
  2. log2 80 – log2 5
  3. –1/3 log 8

Pembahasan Pertama, kita tentukan nilai log4 2 + log4 32 seperti berikut.

Contoh 1-1

Selanjutnya, kita gunakan Sifat 2 untuk menyelesaikan soal yang kedua.

Contoh 1-2

Terakhir, kita gunakan Sifat 3 untuk menentukan nilai bentuk logaritma pada soal ketiga.

Contoh 1-3

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , | 1 Komentar

Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari invers fungsi eksponensial. Oleh karena itu, setelah mempelajari hal tersebut, kita akan bisa:

Sampul

Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan loga.

Gambar 1

Fungsi invers f–1 didefinisikan sebagai

Fungsi Invers

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.


Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan loga, didefinisikan dengan

Definisi Logaritma

Sehingga loga x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.


Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma loga x = y menjadi bentuk eksponensial ay = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Bentuk Logaritma

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

Contoh 1

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , | 1 Komentar

Fungsi Eksponensial dan Grafiknya

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari fungsi eksponensial. Misalnya,

Contoh Fungsi Eksponensial

merupakan fungsi eksponensial yang memiliki basis 2. Perhatikan bahwa fungsi ini naik/bertambah dengan sangat cepat.

Nilai Fungsi f

Jika kita bandingkan fungsi ini dengan fungsi g(x) = x² yang menghasilkan g(30) = 900, kita dapat melihat bahwa jika variabel fungsi berada dalam eksponen, maka perubahan kecil pada variabel akan menyebabkan perubahan yang dramatis dalam nilai fungsi.

Sampul

Secara garis besar, kita nanti akan mempelajari empat hal sebagai berikut:

Fungsi Eksponensial

Untuk mempelajari fungsi eksponensial, pertama kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan bentuk eksponensial ax dengan x adalah sebarang bilangan real. Dalam pembahasan ini kita sudah tahu definisi ax untuk a > 0 dan x adalah bilangan rasional, yaitu

Pangkat Rasional

Akan tetapi bagaimana jika x adalah bilangan irasional? Berapakah nilai dari 5√3 atau 2π? Untuk mendefinisikan ax ketika x adalah bilangan irasional, kita dekati x dengan menggunakan bilangan rasional.

Misalkan, karena

Akar Tiga

merupakan bilangan irasional, kita dapat mendekati a√3 dengan barisan pangkat bilangan rasional berikut:

Barisan

Secara intuitif, kita dapat melihat bahwa pangkat rasional dari a akan mendekat dan terus mendekat ke a√3. Dapat ditunjukkan dengan menggunakan matematika lanjut bahwa terdapat tepat satu bilangan yang didekati oleh barisan tersebut. Kita definisikan a√3 sebagai bilangan ini.

Misalkan, dengan menggunakan kalkulator, kita dapat menghitung

Lima Pangkat Akar Tiga

Semakin banyak desimal yang kita gunakan untuk menentukan √3 dalam perhitungan, maka kita akan mendapatkan pendekatan yang semakin baik.


Definisi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial f dengan basis a dinotasikan dengan

Fungsi Eksponensial

di mana a > 0, a ≠ 1, dan x merupakan sebarang bilangan real.


Kita menganggap bahwa a ≠ 1 karena fungsi f(x) = 1x = 1 merupakan fungsi konstan. Berikut ini beberapa contoh fungsi eksponensial:

Contoh Fungsi-fungsi Eksponensial

Contoh 1: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial

Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai masing-masing fungsi berikut pada x yang diberikan.

  1. f(x) = 2x pada x = –3,1
  2. f(x) = 2x pada x = π
  3. f(x) = 0,6x pada x = 3/2.

Pembahasan

  1. f(–3,1) = 2–3,1 ≈ 0,1166291
  2. f(π) = 2–π ≈ 0,1133147
  3. f(3/2) = (0,6)3/2 = 0,4647580

Ketika menghitung nilai fungsi eksponensial dengan menggunakan kalkulator, selalu ingat untuk menutup eksponen yang berbentuk pecahan dalam tanda kurung. Hal ini dikarenakan kalkulator mengikuti urutan operasi, dan tanda kurung sangat penting untuk mendapatkan hasil yang benar.

Dipublikasi di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika | Tag , , , , , , , , | 7 Komentar