25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

Soal 3

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

  1. Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
    Soal 3-1
    dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
  2. Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
    Soal 3-2 Hipotesis
    Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
    Soal 3-2 P(k+1)
    Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
    Soal 3-2
    Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Rangkuman berikut ini memberikan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bulat positif pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga dapat dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.

Jumlah Bilangan Berpangkat

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

Soal 4

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + … + n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)]/3.

  1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
    Soal 4-1
    yang bernilai benar.
  2. Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
    Soal 4-2 Hipotesis
    Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
    Soal 4-2 P(k+1)
    Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
    Soal 4-2
    Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.

Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

Soal 5

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2² + 3 ∙ 23 + … + n ∙ 2n = 2[1 + (n – 1)2n]

  1. Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan
    Soal 5-1
    yang dengan jelas bernilai benar.
  2. Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.
    Soal 5-2 Hipotesis
    Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan
    Soal 5-2 P(k+1)
    Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.
    Soal 5-2
    Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

38 Balasan ke 25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

  1. Dani berkata:

    Kak kalau 2n+2n+2n+2n=
    Berapa kak,itu N nya di atas 2 kak

    Suka

  2. Pata berkata:

    bang sate kau

    Suka

  3. Ping balik: Induksi Matematika – Teknik Informatika 1B

  4. Rona berkata:

    Thank you 💜 sangat membantu disaat pusing ngadepin pas😅

    Suka

  5. Si Ron berkata:

    terima kasih kak atas soal dan pembahasan Induksi Matematika

    Suka

  6. Rafi berkata:

    Kenapa di hipotesi induksi no 5 2pangkat j hilang, dan 2pangkat k+1 jadi 2 pangkat k saja

    Suka

  7. wati berkata:

    kenapa soal no.6 pada jawaban tahap iii 4 tiba-tiba menjadi 4k ? mohon penjelasannya dong min
    terimakasih

    Suka

  8. Ping balik: Ilmu Matematika | Pendidikan matematika 2012

  9. kenapa yang soal no.5 pembuktian ke-2 2k-nya tiba2 berubah jadi k ? lalu bisa ada -1 ?

    Suka

    • Ihsan berkata:

      2k berubah jadi k karena sifat distribusi. dan kenapa muncul -1 karena untuk memenuhi bentuk yg akan dibuktikan. harus dimunculkan -1. dan itu tidak merubah nilai awalnya.

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s