25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Soal 20: Membuktikan Sifat Barisan dengan Induksi Matematika Kuat

Suatu barisan s0, s1, s2, … didefinisikan sebagai berikut:

Soal 20

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2.

Diduga bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0, suku ke-n barisan ini memiliki nilai sama dengan 5n – 1. Dengan kata lain, dugaan ini menyatakan bahwa semua suku barisan tersebut memenuhi persamaan sn = 5n – 1. Buktikan bahwa dugaan ini benar.

Pembahasan Misalkan s0, s1, s2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai s0 = 0, s1 = 4, dan sk = 6ak – 1 – 5ak – 2 untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, dan misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Soal 20 P(n)

Kita akan menggunakan induksi matematika kuat untuk membuktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n ≥ 0, P(n) bernilai benar.

  1. Untuk membuktikan bahwa P(0) dan P(1) benar, kita harus menunjukkan bahwa
    Soal 20-1
    Akan tetapi, sesuai definisi barisan s0, s1, s2, …, kita memiliki s0 = 0 dan s1 = 4. Karena 50 – 1 = 1 – 1 = 0 dan 51 – 1 = 4, nilai-nilai s0 dan s1 sama dengan nilai-nilai yang diberikan oleh rumus yang diberikan.
  2. Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 1 dan anggap bahwa si = 5i – 1 untuk semua bilangan bulat i dengan 0 ≤ ik. Kita harus menunjukkan bahwa
    Soal 20-2 P(k+1)
    Akan tetapi karena k ≥ 1, kita peroleh bahwa k + 1 ≥ 2, sehingga
    Soal 20-2
    Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(i) dalam langkah induksi. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 21: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan a1, a2, a3, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

Soal 21

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan bahwa an adalah bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Misalkan P(n) menyatakan bahwa an adalah bilangan ganjil. Kita akan membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

  1. Kita akan tunjukkan bahwa P(1) dan P(2) benar. Karena menurut definisi barisan a1, a2, a3, … nilai a1 = 1 dan a2 = 3 yang keduanya merupakan bilangan ganjil, maka P(1) dan P(2) benar.
  2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) bernilai benar untuk 1 ≤ ik. Sehingga hipotesis induksi kita adalah bahwa ai merupakan bilangan ganjil. Kita akan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa P(k +1) benar, yaitu ak + 1 juga merupakan bilangan ganjil. Perhatikan bahwa
    Soal 21-2
    Menurut hipotesis induksi, ak – 1 dan ak merupakan bilangan ganjil. Padahal 2ak merupakan bilangan genap. Hasilnya, penjumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap, ak – 1 + 2ak, adalah suatu bilangan ganjil. Sehingga P(k + 1) bernilai benar. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 22: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan b0, b1, b2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

Soal 22

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2. Buktikan bahwa bn = 3 ∙ 2n + 2 ∙ 5n untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa

Soal 22 P(n)

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

  1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(0) dan P(1) benar, yaitu
    Soal 22-1
    Sesuai definisi, b0 = 5 dan b1 = 16. Sedangkan 3 ∙ 20 + 2 ∙ 50 = 3 + 2 = 5 dan 3 ∙ 21 + 2 ∙ 51 = 6 + 10 = 16. Sehingga nilai-nilai b0 dan b1 sama dengan nilai-nilai yang diperoleh dari rumus yang diberikan. Oleh karena itu, P(0) dan P(1) benar.
  2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 1, misalkan P(i) benar untuk 0 ≤ ik. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
    Soal 22-2 P(i)
    untuk semua bilangan bulat 0 ≤ ik. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
    Soal 22-2 P(k+1)
    Karena k ≥ 1 maka k + 1 ≥ 2, dan kita dapat menuliskan
    Soal 22-2Sehingga kita telah membuktikan bahwa jika P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Soal 23: Membuktikan Sifat Barisan

Misalkan c0, c1, c2, … adalah barisan yang didefinisikan sebagai berikut.

Soal 23

untuk semua bilangan bulat k ≥ 3. Buktikan cn ≤ 3n untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

Pembahasan Misalkan P(n) menotasikan pernyataan

Soal 23 P(n)

Akan kita tunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.

  1. Pertama kita akan tunjukkan bahwa P(0), P(1), dan P(3) benar. Sesuai definisi barisan tersebut, c0 = 1, c1 = 2, dan c2 = 3, kita dapat melihat bahwa c0, c1, dan c2 secara berturut-turut kurang dari sama dengan 30 = 1, 31 = 3, 3² = 9. Sehingga P(0), P(1), dan P(2) bernilai benar.
  2. Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ 2, kita anggap bahwa P(i) benar untuk 0 ≤ ik. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
    Soal 23-2 P(i)
    untuk 0 ≤ ik. Dengan menggunakan hipotesis ini kita akan menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
    Soal 23-2 P(k+1)
    Untuk k ≥ 2 yang mengakibatkan k + 1 ≥ 3, kita memperoleh
    Soal 23-2
    Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(i) benar maka P(k + 1) benar. Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2 kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

38 Balasan ke 25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

  1. Dani berkata:

    Kak kalau 2n+2n+2n+2n=
    Berapa kak,itu N nya di atas 2 kak

    Suka

  2. Pata berkata:

    bang sate kau

    Suka

  3. Ping balik: Induksi Matematika – Teknik Informatika 1B

  4. Rona berkata:

    Thank you 💜 sangat membantu disaat pusing ngadepin pas😅

    Suka

  5. Si Ron berkata:

    terima kasih kak atas soal dan pembahasan Induksi Matematika

    Suka

  6. Rafi berkata:

    Kenapa di hipotesi induksi no 5 2pangkat j hilang, dan 2pangkat k+1 jadi 2 pangkat k saja

    Suka

  7. wati berkata:

    kenapa soal no.6 pada jawaban tahap iii 4 tiba-tiba menjadi 4k ? mohon penjelasannya dong min
    terimakasih

    Suka

  8. Ping balik: Ilmu Matematika | Pendidikan matematika 2012

  9. kenapa yang soal no.5 pembuktian ke-2 2k-nya tiba2 berubah jadi k ? lalu bisa ada -1 ?

    Suka

    • Ihsan berkata:

      2k berubah jadi k karena sifat distribusi. dan kenapa muncul -1 karena untuk memenuhi bentuk yg akan dibuktikan. harus dimunculkan -1. dan itu tidak merubah nilai awalnya.

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s