25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk membuktikan suatu pernyataan matematis dengan menggunakan induksi matematika. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positif.

Sampul


Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

  1. P(1) benar, dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.


Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

  1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
  2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
  3. P(k): k + 3 < 5k²
  4. P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

  1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
    Soal 1-1
  2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
    Soal 1-2
  3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
    Soal 1-3
  4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
    Soal 1-4

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Soal 2

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

  1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
    Soal 2-1
  2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
    Soal 2-2 Hipotesis
    bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
    Soal 2-2

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Analisis Real, Kelas XII, Matematika Diskrit, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

33 Balasan ke 25 Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

  1. Rafi berkata:

    Kenapa di hipotesi induksi no 5 2pangkat j hilang, dan 2pangkat k+1 jadi 2 pangkat k saja

    Suka

  2. wati berkata:

    kenapa soal no.6 pada jawaban tahap iii 4 tiba-tiba menjadi 4k ? mohon penjelasannya dong min
    terimakasih

    Suka

  3. Ping balik: Ilmu Matematika | Pendidikan matematika 2012

  4. kenapa yang soal no.5 pembuktian ke-2 2k-nya tiba2 berubah jadi k ? lalu bisa ada -1 ?

    Suka

    • Ihsan berkata:

      2k berubah jadi k karena sifat distribusi. dan kenapa muncul -1 karena untuk memenuhi bentuk yg akan dibuktikan. harus dimunculkan -1. dan itu tidak merubah nilai awalnya.

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s