Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Pada lingkaran satuan C (lihat gambar a), perhatikan titik A yang merupakan ujung dari kaki sudut α, dan titik B yang merupakan ujung dari kaki sudut β.

Karena r = 1, maka koordinat dari A dan B secara berturut-turut adalah (cos α, sin α) dan (cos β, sin β). Dengan menggunakan rumus jarak, kita dapat menentukan panjang ruas garis AB seperti berikut.

Selanjutnya, juring ACB diputar sedemikian sehingga sisi BC berimpit dengan sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar b. Hasil putaran ini akan menghasilkan koordinat baru, yaitu (1, 0) untuk titik B dan (cos (α – β), sin (α – β)) untuk titik A, akan tetapi panjang ruas garis AB tetap sama! Dengan menghitung kembali jarak titik A ke titik B, diperoleh

Karena dua persamaan di atas menunjukkan jarak yang sama, kita dapat mensubstitusikan nilai AB dari satu persamaan ke persamaan lainnya.

Hasil di atas disebut sebagai cosinus dari selisih dua sudut. Dengan mensubstitusi –β ke β akan menghasilkan cosinus dari jumlah dua sudut sebagai berikut.

Rumus cosinus dari jumlah dan selisih dua sudut di atas dapat digunakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri dari sudut tertentu (nilai fungsi yang tidak ditulis dalam bentuk desimal, melainkan dalam bentuk akar). Selain itu rumus tersebut juga dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan trigonometri dan menemukan identitas/rumus trigonometri lainnya.

Cosinus dari Jumlah dan Selisih Dua Sudut
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
sin (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Untuk memahami penggunaan rumus cosinus dari jumlah dan selisih dua sudut tersebut, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Nilai Cosinus dari Sudut-sudut yang Tidak Istimewa

Gunakan rumus cosinus dari jumlah/selisih dua sudut untuk menentukan nilai cosinus dari sudut-sudut berikut.

1. cos 15° = cos (45° – 30°)
2. cos 75° = cos (45° + 30°)

Pembahasan

1. Seperti informasi soal, cos 15° = cos (45° – 30°). Sehingga kita dapat menentukan nilai cosinus dari 15° dengan menggunakan rumus selisih dua sudut untuk cos.
   
   Apabila cos 15° ditulis dalam bentuk desimal 10 angka di belakang koma, maka cos 15° = 0,9659258263.
2. Karena cos 75° = cos (45° + 30°), maka cos 75° dapat ditentukan dengan rumus jumlah dua sudut untuk cos.
   
   Nilai cos 75° juga dapat ditulis dalam bentuk desimal 10 angka di belakang koma sebagai 0,2588190451.

Selain untuk menentukan nilai eksak dari cosinus dari sudut-sudut bukan istimewa, rumus jumlah/selisih dua sudut untuk cos juga dapat digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Perhatikan contoh 2 berikut.

Contoh 2: Menyederhanakan Suatu Persamaan

Tulislah persamaan berikut ke dalam persamaan yang hanya memuat cos, kemudian hitunglah nilai cos tersebut: cos 57° cos 78° – sin 57° sin 78°.

Pembahasan Karena persamaan tersebut memenuhi rumus cosinus untuk jumlah dua sudut, maka

Sehingga bentuk sederhana dari cos 57° cos 78° – sin 57° sin 78° adalah cos 135° yang hanya memuat cosinus saja. Selanjutnya, kita akan menggunakan rumus jumlah/selisih dua sudut untuk cos pada permasalahan lainnya.

Contoh 3: Menghitung Cosinus dari Jumlah Dua Sudut

Diberikan sin α = 5/13 dengan α adalah sudut lancip, dan tan β = -24/7 dengan β adalah sudut tumpul. Hitung nilai dari cos (α + β)!

Pembahasan Untuk menggunakan rumus cosinus dari jumlah dua sudut, kita memerlukan nilai dari cos α, sin α, cos β, dan sin β. Untuk menentukan nilai-nilai tersebut kita dapat menggambar segitiga yang sesuai dengan informasi soal dan menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan nilai-nilai yang dibutuhkan.

Dari gambar (i) di atas kita dapat memperoleh cos α = 12/13 dan sin α = 5/13. Sedangkan dari gambar (ii), kita dapat memperoleh cos β = -7/25 dan sin β = 24/25. Sehingga,

Jadi, nilai dari cos (α + β) adalah -204/325. Semoga bermanfaat, yos3prens.