Garis dan Bidang dalam Ruang

Terdapat empat hal yang akan kita pelajari dalam pembahasan ini. Setelah membahas topik garis dan bidang dalam ruang, diharapkan kita dapat:

Garis dan Bidang-01

Garis dalam Ruang

Pada bidang, gradien digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis. Dalam ruang, akan lebih mudah jika kita gunakan vektor untuk menentukan persamaan suatu garis.

Gambar 1

Pada Gambar 1, perhatikan garis L yang melalui titik P(x1, y1, z1) dan sejajar terhadap vektor v = <a, b, c>. Vektor v adalah vektor arah untuk garis L, dan a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan arah. Kita dapat mendeskripsikan bahwa garis L adalah himpunan semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ sejajar dengan v. Ini berarti bahwa PQ merupakan perkalian skalar v dan kita dapat menuliskan PQ = tv, dimana t adalah suatu skalar (bilangan real).

PQ

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkan persamaan-persamaan parametris suatu garis dalam ruang.


Teorema 1 Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis dalam Ruang

Garis L yang sejajar dengan vektor v = <v1, v2, v3> dan melewati titik P(x1, y1, z1) direpresentasikan dengan persamaan-persamaan parametris

Teorema 1


Jika bilangan-bilangan arah a, b, dan c tidak nol, maka kita dapat mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan persamaan-persamaan simetris garis.

Persamaan Simetris

Contoh 1: Menentukan Persamaan-persamaan Parametris dan Simetris

Tentukan persamaan-persamaan parametris dan simetris garis L yang melalui titik (1, –2, 4) dan sejajar terhadap v = <2, 4, –4>, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.

Gambar 2

Pembahasan Untuk menentukan persamaan-persamaan parametris garis tersebut, kita gunakan koordinat-koordinat x1 = 1, y1 = –2, dan z1 = 4 dan arah a = 2, b = 4, dan c = –4.

Contoh 1 Persamaan Parametris

Karena a, b, dan c semuanya tidak nol, persamaan simetris garis tersebut adalah

Contoh 1 Persamaan Simetris

Persamaan-persamaan parametris atau simetris untuk garis yang diberikan tidaklah tunggal. Sebagai contoh, dalam Contoh 1, dengan memisalkan t = 1 dalam persamaan-persamaan parametris, kita akan mendapatkan titik (3, 2, 0). Dengan menggunakan titik ini dengan bilangan-bilangan arah a = 2, b = 4, dan c = –4 kita akan menghasilkan himpunan persamaan-persamaan parametris yang berbeda

Contoh 1 Alternatif

Contoh 2: Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis yang Melalui Dua Titik

Tentukan persamaan-persamaan parametris suatu garis yang melalui titik-titik (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

Pembahasan Pertama, kita gunakan titik-titik P(–2, 1, 0) dan Q(1, 3, 5) untuk menentukan vektor arah garis yang melalui P dan Q.

Contoh 2 v

Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah a = 3, b = 2, dan c = 5 dengan titik P(–2, 1, 0), kita dapat memperoleh persamaan-persamaan parametris

Contoh 2 Persamaan Parametris

Catatan Karena t beragam untuk semua bilangan real, persamaan-persamaan parametris pada Contoh 2 digunakan untuk menentukan titik-titik (x, y, z) yang terletak pada garis. Secara khusus, untuk t = 0 dan t = 1 memberikan titik-titik awal yang diketahui, yaitu (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Geometri, Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Garis dan Bidang dalam Ruang

  1. Ping balik: Garis dan Bidang dalam Ruang – BERBAGI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s