Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi

Salah satu penerapan kalkulus yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Sebelum kita menguraikan strategi untuk menyelesaikan permasalahan seperti itu, perhatikan contoh berikut.

PostArt-01

Contoh 1: Menentukan Volume Terbesar

Suatu perusahaan ingin merancang suatu kotak terbuka yang memiliki alas persegi dan luas permukaan 108 cm², seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Berapakah panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut agar menghasilkan kotak dengan volume terbesar?

Contoh 1

Pembahasan Karena kotak tersebut memiliki alas persegi, maka volumenya

Contoh 1 V

Persamaan ini disebut sebagai persamaan primer karena persamaan tersebut memberikan rumus untuk nilai yang akan dioptimumkan. Luas permukaan kotak tersebut adalah,

Contoh 1 L

Karena V akan dimaksimumkan, maka kita perlu menulis V hanya ke dalam satu variabel. Untuk itu, kita harus menyelesaikan persamaan 108 = x² + 4xt dalam t yang memuat variabel x. Sehingga dihasilkan t = (108 – x²)/(4x). Dengan mensubstitusi nilai t tersebut ke dalam persamaan primer, didapatkan

Contoh 1 V 1 variabel

Sebelum menentukan nilai x mana yang dapat menyebabkan V maksimum, kita terlebih dulu harus menentukan domain fungsi V, yaitu nilai x yang masuk akal dalam masalah ini. Kita tahu bahwa V ≥ 0. Kita juga tahu bahwa nilai x yang masuk akal adalah nilai yang tidak negatif dan luas alas (A = x²) memiliki nilai maksimum 108, sehingga domain fungsi tersebut adalah

Contoh 1 Domain

Untuk memaksimumkan V, kita tentukan nilai kritis fungsi V pada selang (0, √108).

Contoh 1 Nilai Kritis

Sehingga diperoleh nilai kritis x = ±6. Kita tidak perlu mempertimbangkan x = –6 karena terletak di luar domain. Kita tentukan nilai V pada nilai kritis dan kedua ujungnya, diperoleh V(0) = 0, V(6) = 108, dan V(√108) = 0. Jadi, V akan bernilai maksimum pada x = 6, dan ukuran kotak yang dimaksud adalah 6 cm × 6 cm × 3 cm.

Pada Contoh 1, kita menyadari bahwa terdapat tak hingga banyak kotak terbuka yang memiliki luas alas 108 cm². Untuk memulai menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus menanyakan kepada diri kita sendiri bentuk kotak yang seperti apa yang dapat menghasilkan volume maksimum. Apakah kotak panjang, pendek, atau kotak yang menyerupai kubus?

Kita bisa mencoba untuk menghitung beberapa volume, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah, untuk memprediksi bentuk manakah yang menghasilkan volume maksimum. Ingat bahwa kita tidak siap untuk menyelesaikan masalah sampai kita dapat mengidentifikasi permasalahan tersebut.

Contoh 1 Ilustrasi

Contoh 1 mengilustrasikan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan optimalisasi berikut.


Panduan Menyelesaikan Permasalahan Optimalisasi

  1. Identifikasi semua kuantitas yang diberikan dan semua kuantitas yang akan ditentukan. Jika mungkin, buatlah sketsa.
  2. Tulis persamaan primer untuk kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
  3. Reduksi persamaan primer menjadi persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas. Hal ini melibatkan persamaan kedua yang memuat variabel bebas persamaan primer.
  4. Tentukan domain persamaan primer. Sehingga kita harus menentukan semua nilai yang menyebabkan permasalahan yang diberikan masuk akal.
  5. Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dengan menggunakan teknik kalkulus.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi

  1. Syakir Rahman berkata:

    Terimakasih, penjelasannya sangat lugas dan mudah dimengerti :). Lanjutkan.

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s