Penerapan Turunan: Metode Newton

Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari suatu teknik untuk mendekati pembuat nol suatu fungsi. Teknik tersebut disebut Metode Newton, dan metode ini menggunakan garis singgung untuk mendekati perpotongan suatu grafik fungsi dengan sumbu-x.

Metode Newton

Untuk melihat bagaimana Metode Newton bekerja, perhatikan suatu fungsi f yang kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang (a, b). Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, f haruslah memiliki minimal satu pembuat nol pada selang (a, b). Untuk memperkirakan pembuat nol tersebut, kita pilih

Perkiraan Pertama

seperti yang ditunjukkan Gambar (a). Metode Newton didasarkan pada asumsi bahwa grafik f dan garis singgungnya pada (x1, f(x1)) memotong sumbu-x kira-kira pada titik yang sama. Karena kita dengan mudah dapat menentukan titik potong garis singgung dengan sumbu-x, kita dapat menggunakan titik tersebut sebagai perkiraan kedua (dan biasanya lebih baik) untuk mendekati pembuat nol f. Garis singgung tersebut menyinggung pada titik (x1, f(x1)) dengan gradien f ’(x1). Persamaan garis yang melalui titik dan memiliki gradien tertentu dapat dituliskan

Persamaan Garis

Dengan memisalkan y = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut ke dalam x menghasilkan

Persamaan dalam x

Sehingga, dari perkiraan awal x1, kita memperoleh perkiraan yang baru

Perkiraan Kedua

Kita dapat memperbaiki x2 dan menghitung perkiraan yang ketiga

Perkiraan Ketiga

Pengulangan proses di atas disebut sebagai Metode Newton.


Metode Newton untuk Mendekati Pembuat Nol Suatu Fungsi

Misalkan f(c) = 0, dimana f terdiferensialkan pada selang buka yang memuat c. Maka, untuk mendekati c, kita lakukan langkah-langkah berikut.

  1. Buat perkiraan awal x1 yang dekat ke c. (Grafik fungsi bisa membantu).
  2. Tentukan perkiraan baru
    Langkah Kedua
  3. Jika |xnxn + 1| masuk dalam akurasi yang diharapkan, maka xn + 1 merupakan perkiraan akhir. Jika tidak, kembali ke langkah 2 dan hitung perkiraan baru.

Masing-masing terapan berurutan prosedur ini disebut sebagai iterasi.


Contoh 1: Menggunakan Metode Newton

Hitunglah tiga iterasi Metode Newton untuk mendekati pembuat nol f(x) = x² – 2. Gunakan x1 = 1 sebagai perkiraan awal.

Pembahasan Karena f(x) = x² – 2, kita dapatkan f ’(x) = 2x, dan rumus iteratifnya adalah

Contoh 1 Rumus Iteratif

Perhitungan tiga iterasi Metode Newton fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.

Contoh 1 Tabel

Tentunya, dalam kasus ini kita tahu bahwa dua pembuat nol fungsi tersebut adalah ±√2. Dalam enam angka di belakang koma, √2 = 1,414214. Sehingga, kita menghasilkan suatu pendekatan yang berselisih 0,000002 dari akar sebenarnya. Iterasi pertama proses ini digambarkan oleh gambar di bawah.

Contoh 1

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s