Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan bilangan merupakan urutan bilangan yang dibuat dengan aturan tertentu. Barisan aritmetika merupakan suatu barisan bilangan yang setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. Contoh dari barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

7, 10, 13, 16, 19, …

Perhatikan bahwa setiap pasangan berurutan pada barisan tersebut memiliki selisih yang sama, yaitu 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3. Selisih bilangan-bilangan berurutan pada barisan aritmetika disebut beda, dan biasanya disimbolkan dengan b. Sedangkan bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un. Sehingga U5 merupakan simbol dari suku ke-5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan, disimbolkan dengan a.

Suku ke-n Barisan Aritmetika

Pasangan suku-suku berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, sehingga:

U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Dari pola di atas, dapatkah ditentukan suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50? Dengan menggunakan pola di atas, dapat diketahui dengan mudah suku ke-7, suku ke-23, dan suku ke-50 dari barisan tersebut.

U7 = a + 6b
U23 = a + 22b
U50 = a + 49b

Sehingga suku ke-n dari barisan aritmetika dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:

Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

Deret Aritmetika

Deret aritmetika merupakan penjumlahan dari semua anggota barisan aritmetika secara berurutan. Berikut ini merupakan salah satu contoh dari deret aritmetika.

7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Bagaimana cara menentukan hasil dari deret aritmetika, jika diambil n suku pertama? Misalkan akan dijumlahkan 5 suku pertama dari barisan 7, 10, 13, 16, 19, …

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Bagaimana jika yang akan ditentukan adalah jumlah dari 100 suku pertama? Tentunya kita akan kesulitan untuk menghitungnya satu persatu. Berikut ini adalah cara menentukan jumlah dari 5 suku pertama barisan aritmetika di atas tetapi dengan cara yang berbeda.

Misalkan S5 = 7 + 10 + 13 + 16 + 19, maka
Deret Aritmetika

Sehingga nilai S5, jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut, adalah 26 × 5 : 2 = 65.

Perhatikan bahwa S5 di atas dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

Sn = (a + Un) × n : 2

Karena Un = a + (n – 1)b, maka rumus di atas menjadi,

Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2

Semoga bermanfaat, yos3prens.

About these ads

Tentang Yosep Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Tulisan ini dipublikasikan di Kelas IX, Perangkat Pembelajaran dan tag , , , . Tandai permalink.

150 Balasan ke Barisan dan Deret Aritmetika

  1. Kerah Ledrek berkata:

    kalo rumus menemukan sola seperti ini gmn gan? http://prntscr.com/4jtze3

    Suka

    • yos3prens berkata:

      Itu kan diketahui suatu barisan aritmetika dengan,
      U6 = a + 5b = 24.000 …(1)
      U10 = a + 9b = 18.000 …(2)
      Dengan mengurangkan persamaan (2) dengan (1), diperoleh
      4b = -6.000
      b = -6.000/4 = -1.500
      Dengan mensubstitusi nilai b ke persamaan (1) diperoleh
      a + 5(-1.500) = 24.000
      a – 7.500 = 24.000
      a = 31.500
      Sehingga,
      Un = 31.500 + (n – 1)(-1.500)
      Un = 33.000 – 1.500n
      Agar Un = 0, maka
      0 = 33.000 – 1.500n
      1.500n = 33.000
      n = 33.000/1.500 = 22.
      Jadi, nilai n adalah 22.

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s