Aplikasi Integral: Luas Daerah Di Antara Kurva

Banyak hal yang ingin kita ketahui dapat dihitung dengan integral: luas daerah di antara kurva, volume dan luas permukaan bangun ruang, panjang kurva, jumlah kerja yang diperlukan oleh pipa air untuk mengangkat air dari bawah tanah, gaya pada jembatan penahan air, dan koordinat titik massa di mana suatu bangun ruang akan seimbang. Semua hal tersebut akan didefinisikan terlebih dulu sebagai limit dari jumlah Riemann suatu fungsi kontinu pada selang tutup dan kemudian menghitungnya dengan kalkulus.

Luas Daerah Di Antara Kurva: Rumus Dasar sebagai Limit dari Jumlah Riemann

Misalkan akan dicari luas daerah yang terletak di bawah kurva y = f(x), di atas kurva y = g(x), dan di kanan dan di kiri garis x = a dan x = b (Gambar 1 (i)). Daerah tersebut kebetulan memiliki bentuk yang tidak dapat dicari luasnya dengan menggunakan geometri, akan tetapi jika f dan g adalah sebarang fungsi kontinu, kita dapat mencari luasnya dengan menggunakan integral.

Untuk mencari luas daerah dengan menggunakan integral, pertama kita dekati bidang tersebut dengan n persegi panjang vertikal berdasarkan partisi P = {x0, x1, . . . , xn} dari selang [a, b] (Gambar 1 (ii)). Luas persegi panjang ke-k (Gambar 1 (iii)) adalah

ΔAk = panjang x lebar = [f(ck) – g(ck)xk.

Gambar 1

Kita kemudian mendekati luas daerah tersebut dengan menjumlahkan luas dari n persegi panjang.

Luas I

Fungsi f dan g adalah fungsi-fungsi yang kontinu, dengan mengambil limit ||P|| mendekati nol, diperoleh

Luas II

Definisi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi kontinu dengan f(x) ≥ g(x) pada selang [a, b], maka luas daerah di antara kurva y = f(x) dan y = g(x) dari a sampai b adalah integral [f(x) – g(x)] dari a sampai b:

Luas III

Untuk menggunakan persamaan yang ada di dalam definisi di atas, dilakukan langkah-langkah berikut:

  1. Gambar kurva-kurvanya dan gambar juga persegi panjangnya. Hal ini untuk menunjukkan yang mana kurva f (kurva atas) dan kurva g (kurva bawah). Hal ini juga dimaksudkan untuk mengetahui batas-batasnya, jika belum diketahui pada soal.
  2. Cari batas-batas integralnya.
  3. Tulis persamaan f(x) – g(x). Sederhanakan jika dapat.
  4. Integralkan [f(x) – g(x)] dari a sampai b. Hasil yang diperoleh merupakan luas daerah yang dimaksud.

Contoh: Cari luas daerah di antara y = cos x dan y = –sin x dari 0 sampai π/2.

Solusi
Langkah 1:
Sketsa kurva-kurva tersebut beserta persegi panjang vertikalnya (Gambar 2). Dari gambar diperoleh bahwa kurva atasnya adalah y = cos x, maka f(x) = cos x. Sedangkan kurva bawahnya adalah g(x) = –sin x, sehingga g(x) = –sin x.

Gambar 2

Langkah 2: Batas-batas integralnya sudah diberikan, yaitu a = 0 dan b = π/2.
Langkah 3: f(x) – g(x) = cos x – (–sin x) = cos x + sin x
Langkah 4:

Luas IV

Luas daerah yang diberikan adalah 2 satuan luas. Semoga bermanfaat, yos3prens.

About these ads

Tentang Yosep Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Tulisan ini dipublikasikan di Kelas XII, Perangkat Pembelajaran dan tag , . Tandai permalink.

24 Balasan ke Aplikasi Integral: Luas Daerah Di Antara Kurva

  1. Dewi berkata:

    saya punya soal
    tentukan persamaan kurva dengan gradien m= dy/dx (x-1) pangkat 3 dan kurva melalui titik A (3,0). mohon bantuannya terima kasih

    • yos3prens berkata:

      m = f’(x) = d/dx (x – 1)³ = d/dx [x³ - 3x² + 3x - 1], Sehingga,
      f(x) = integral[x³ - 3x² + 3x - 1] = x⁴/4 – x³ + 3x²/2 – x + c.
      Karena kurva tersebut melalui titik A(3, 0), maka
      f(3) = 3⁴/4 – 3³ + 3 ∙ 3²/2 – 3 + c = 0
      81/4 – 27 + 27/2 – 3 + c = 0
      (81 – 108 + 54 – 12)/ 4 + c = 0
      15/4 + c = 0
      c = -15/4

      Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) = x⁴/4 – x³ + 3x²/2 – x – 15/4

  2. risa syafnita berkata:

    kaaa,kalau soalnya carilah luas daerah yang di batasi oleh kurva y=x^-6x+6,garis y=0,dan garis y=6 mohon bantuannya yaa

    • yos3prens berkata:

      Mungkin kurva yang dimaksud adalah y = x² – 6x + 6.
      Agar lebih mudah, kita ubah persamaan y = x² – 6x + 6 menjadi,
      y = (x² – 6x + 9) – 3
      y = (x – 3)² – 3
      y + 3 = (x – 3)²
      ±√(y + 3) = x – 3
      3 ± √(y + 3) = x

      Sehingga, persamaan y = x² – 6x + 6 setara dengan x = 3 ± √(y + 3). Selanjutnya kita integralkan dengan batas y = 0 dan y = 6.
      Luas = int[0, 6] ((3 + √(y + 3)) – (3 – √(y + 3))) dy
      = int [0, 6] (2√(y + 3)) dy
      = (4/3 ∙ √(y + 3)³) [0, 6]
      =(4/3 ∙ √(6 + 3)³) – (4/3 ∙ √(0 + 3)³)
      = 36 – (4/3 ∙ √27)
      = 36 – (4/3 ∙ 3√3)
      = 36 – 4√3
      = 4(9 – √3) ≈ 29,0718

      Jadi, luas daerah tersebut adalah 29,0718 satuan luas.

  3. fitri anissa berkata:

    kalau soalnya kaya gini
    daerah D dibatasi oleh parabola y = x dan garis y = 2x . gambarlah daerah D dan hitung luasnya

  4. cpp01 berkata:

    kk mintol tentukan luas daerah yang di batasi oleh kurva y=sin2x dan y=cos x pada kuadran 1!

    • yos3prens berkata:

      Kuadran 1 berada ketika 0° ≤ x ≤ 180°. Selanjutnya kita tentukan titik potong kedua grafik pada selang tersebut.
      sin 2x = cos x
      2sin x cos x = cos x
      2cos x = 1
      cos x = 1/2
      x = 60°

      Sehingga,
      L = int[0° - 60°](cos x – sin 2x) dx + int[60° - 180°](sin 2x – cos x) dx
      = (sin x + (cos 2x)/2)[0° - 60°] + (-(cos 2x)/2 – sin x)[60° - 180°]
      = ([sin 60° - (cos 2 ∙ 60°)/2] – [sin 0° - (cos 2 ∙ 0°)/2] + ([-(cos 2 ∙ 180°)/2 - sin 180°] – [-(cos 2 ∙ 60°)/2 - sin 60°]0
      = ([1/2 √3 + 1/4 √3] – [1 - 1/2]) + ([-1/2 - 0] – [1/4 √3 - 1/2 √3])
      = (3/4 √3 – 1/2) + (1/2 √3 – 1/2)
      = 5/4 √3 – 1

      Jadi, luas daerah di antara kurva y = sin 2x dan y = cos x di kuadran 1 adalah 2 √3 – 1 satuan luas.

  5. minta bantuan kalau soalnya Gradien =x,y
    adalah (3×2-8x-5,jika urva itu melalui (2,-10) dan (3,q)
    nilai q adalah

    • yos3prens berkata:

      Itu bener persamaan gradiennya, m(x) = 3×2-8x-5 ? Jika iya, berikut penyelesaiannya.
      y = int(3×2-8x-5) = int(1 – 8x) = x – 4x^2 + c

      Karena grafik dari fungsi tersebut melalui titik (2,-10), maka
      -10 = 2 – 4(2)^2 + c
      -10 = -14 + c
      c = 14 – 10 = 4

      Sehingga diperoleh fungsinya adalah y = x – 4x^2 + 4, sehingga
      q = f(3) = 3 – 4(3)^2 + 4 = 3 – 36 + 4 = -29.
      Jadi, nilai q adalah -29.

  6. ellen berkata:

    bisa minta tolong bantuannya ^^
    jika ada soal f(x)= 2sinx
    dan g(x) = cos x
    maka berapa luas daerah di antaranya? :)
    oh yaa.. range’nya antara x 0- 2pi :)

    • ellen berkata:

      terima kasih :)

    • yos3prens berkata:

      Pertama, kita tentukan titik potong grafik f dan g dengan cara substitusi.
      2sinx = cosx
      sinx / cos x = 1/2
      tanx = 1/2
      x = 26,57° + k180°
      Karena 0° < x < 360°, maka diperoleh batas-batasnya adalah 26,57° dan 206,57° (diperoleh dari k = 0 dan k = 1).
      Sehingga luasnya,
      L = Int(0°, 26,57°) cosx – 2sinx dx + Int(26,57°, 206,57°) 2sinx – cos dx + Int(206,57°, 360°) cosx – 2sinx dx
      L = [sinx + 2cosx](0°, 26,57°) + [-2cosx - sinx](26,57°, 206,57°) + [sinx + 2cosx](206,57°, 360°)
      L = 0,236 + 4,472 + 4,236 = 8,944 satuan luas.

      Catatan:
      Int(a, b) = Integral dari a sampai b
      [sinx + 2cosx](a, b) = Nilai sinx + 2cosx dari a sampai b

  7. ilvi rahmi amalia berkata:

    tolong saya menyelesaiakn soal seperti ini
    1. sketsa dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva
    a. f(x)=x(x^2 – 3x + 3), g(x)=x^2
    b. g(x)=4/2-x x^2, y=4, x=0
    2. tentukan volome benda putar dari persamaan berikut
    a. y=x^2, y=4x – x^2, jika diputar mengelilingi
    i) sumbu-x ii) garis y=6
    b. y= 6-2x-x^2, y=x+6, jika diputar mengelilingi
    i) sumbu-x ii) garis y=3

  8. rina berkata:

    tolong bantu saya dengan soal” seperti ini.
    1. Hitung isi benda. Bila lingkaran x2 + y2 = a2 diputar mengelilingi sb x.

    2. Hitung panjang busur dr grafik y=Ln CSEC X. Untk x dari x=0 sampai x=phi/6.

    Terima kasih mohon bantuannya.

  9. hendra berkata:

    tolong bantu saya dengan soal” seperti ini.
    1. Hitung isi benda. Bila lingkaran x2 + y2 = a2 diputar mengelilingi sb x.

    2. Hitung panjang busur dr grafik y=Ln CSEC X. Untk x dari x=0 sampai x=phi/6.

    Terima kasih mohon bantuannya.

  10. hendra berkata:

    mav sya mau bertanya jika ad prtnyaan luas daerah diantara grafik y=2-x2 dan y3=x2. .
    Mhon dibantu. .
    Terima kasih.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s