Aplikasi Integral: Luas Daerah Di Antara Kurva

Banyak hal yang ingin kita ketahui dapat dihitung dengan integral: luas daerah di antara kurva, volume dan luas permukaan bangun ruang, panjang kurva, jumlah kerja yang diperlukan oleh pipa air untuk mengangkat air dari bawah tanah, gaya pada jembatan penahan air, dan koordinat titik massa di mana suatu bangun ruang akan seimbang. Semua hal tersebut akan didefinisikan terlebih dulu sebagai limit dari jumlah Riemann suatu fungsi kontinu pada selang tutup dan kemudian menghitungnya dengan kalkulus.

Luas Daerah Di Antara Kurva: Rumus Dasar sebagai Limit dari Jumlah Riemann

Misalkan akan dicari luas daerah yang terletak di bawah kurva y = f(x), di atas kurva y = g(x), dan di kanan dan di kiri garis x = a dan x = b (Gambar 1 (i)). Daerah tersebut kebetulan memiliki bentuk yang tidak dapat dicari luasnya dengan menggunakan geometri, akan tetapi jika f dan g adalah sebarang fungsi kontinu, kita dapat mencari luasnya dengan menggunakan integral.

Untuk mencari luas daerah dengan menggunakan integral, pertama kita dekati bidang tersebut dengan n persegi panjang vertikal berdasarkan partisi P = {x0, x1, . . . , xn} dari selang [a, b] (Gambar 1 (ii)). Luas persegi panjang ke-k (Gambar 1 (iii)) adalah

ΔAk = panjang x lebar = [f(ck) – g(ck)xk.

Gambar 1

Kita kemudian mendekati luas daerah tersebut dengan menjumlahkan luas dari n persegi panjang.

Luas I

Fungsi f dan g adalah fungsi-fungsi yang kontinu, dengan mengambil limit ||P|| mendekati nol, diperoleh

Luas II

Definisi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi kontinu dengan f(x) ≥ g(x) pada selang [a, b], maka luas daerah di antara kurva y = f(x) dan y = g(x) dari a sampai b adalah integral [f(x) – g(x)] dari a sampai b:

Luas III

Untuk menggunakan persamaan yang ada di dalam definisi di atas, dilakukan langkah-langkah berikut:

  1. Gambar kurva-kurvanya dan gambar juga persegi panjangnya. Hal ini untuk menunjukkan yang mana kurva f (kurva atas) dan kurva g (kurva bawah). Hal ini juga dimaksudkan untuk mengetahui batas-batasnya, jika belum diketahui pada soal.
  2. Cari batas-batas integralnya.
  3. Tulis persamaan f(x) – g(x). Sederhanakan jika dapat.
  4. Integralkan [f(x) – g(x)] dari a sampai b. Hasil yang diperoleh merupakan luas daerah yang dimaksud.

Contoh: Cari luas daerah di antara y = cos x dan y = –sin x dari 0 sampai π/2.

Solusi
Langkah 1:
Sketsa kurva-kurva tersebut beserta persegi panjang vertikalnya (Gambar 2). Dari gambar diperoleh bahwa kurva atasnya adalah y = cos x, maka f(x) = cos x. Sedangkan kurva bawahnya adalah g(x) = –sin x, sehingga g(x) = –sin x.

Gambar 2

Langkah 2: Batas-batas integralnya sudah diberikan, yaitu a = 0 dan b = π/2.
Langkah 3: f(x) – g(x) = cos x – (–sin x) = cos x + sin x
Langkah 4:

Luas IV

Luas daerah yang diberikan adalah 2 satuan luas. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang yos3prens

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kelas XII, Perangkat Pembelajaran dan tag , . Tandai permalink.

40 Balasan ke Aplikasi Integral: Luas Daerah Di Antara Kurva

  1. Dwi Susanti berkata:

    kak saya punya soal Tentukan volume suatu bidang yang dibatasi oleh kurva y = 6+ cos x, garis x = 0 dan x = 6 dan diputar terhadap sumbu-x
    gimana penyelesaiannya

    Suka

  2. Vindro berkata:

    Tolong dibantu untu soal ini:
    Tentukan luas daerah di bawah kurva y = g(x) =
    x^3, 0 ≤ x ≤ 1, dengan terlebih dahulu menaksirnya
    dengan luas sejumlah persegi‐panjang di bawah
    dan di atas kurva.
    Terimakasih

    Suka

  3. pahrizal berkata:

    kalau benar gue kasih pulsa 5000 .. serius… scepatnya ya.. terima kasih

    Suka

  4. pahrizal berkata:

    Datar yang dibatasi oleh y = 1/√x sumbu X, garis x =1, dan garis x = 4 di putar mengelilingi sumbu Y. Volume benda putar yang terbentuk adalah … satuan volume

    Suka

  5. pahrizal berkata:

    gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) adalah 2x – 5. jika kurva ini melalui titik (4,7), maka kurva tsb memotong sumbu Y di titik …?

    Suka

  6. pahrizal berkata:

    Bantuin ya..
    Daerah datar yang di batasi oleh y = 1/√x , sumbu X, garis x=1, dan garis x=4 di putar mengelilingi sumbu Y. Volume benda putar yang terbentuk adalah… satuan volume .
    Scepatnya ya..
    trima kasih (y)

    Suka

  7. Candra darmawan berkata:

    permisi min mau bertanya
    hitunglah luas yang dibatasi kurva-kurva dibawah ini
    y=2x dan y= x^2 + 4
    terima kasih

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s