Kesamaan, Penjumlahan, dan Pengurangan Matriks

Matriks memiliki banyak kegunaan, di antaranya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Untuk memahami penerapaan matriks yang lebih luas, kita perlu untuk mengetahui operasi-operasi dalam matriks, dalam pembahasan ini kita hanya akan membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, serta kesamaan dari dua matriks.

Untuk mempelajari matriks secara efektif, pertama kita akan mendefinisikan matriks secara umum. Untuk matriks umum A, semua elemen/anggotanya dinotasikan sebagai huruf kecil “a”, dengan posisi dari elemen tersebut ditunjukkan dengan indeks rangkap aij. Huruf i dan j secara berturut-turut menyatakan urutan baris dan kolom dari elemen matriks yang dimaksud. Matriks A secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Matriks A

Ukuran dari matriks disebut sebagai ordo, sehingga kita dapat mengatakan bahwa matriks A di atas berordo m × n. Perhatikan bahwa semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal matriks memiliki bilangan kolom dan baris yang sama, aij, dimana i = j. Demikian juga, apabila elemen-elemen dari matriks A dituliskan dengan aij, maka elemen-elemen dari matriks B dapat dituliskan sebagai bij, elemen-elemen matriks C sebagai cij, dan seterusnya.

Contoh 1: Mengidentifikasi Ordo dan Elemen dari Suatu Matriks

Nyatakan ordo dari masing-masing matriks berikut dan elemen-elemen yang bersesuaian dengan a22, a31; b22, b31; dan c22, c31.

Contoh 1

Pembahasan Matriks A memiliki 2 baris dan 2 kolom, sehingga matriks A berordo 2 × 2, dengan a22 = –3 (elemen yang terletak pada kolom ke-2 dan baris ke-2 adalah –3), dan tidak ada elemen a31 dalam matriks A (A hanya berordo 2 × 2). Matriks B memiliki 3 baris dan 2 kolom, sehingga ordo dari matriks B adalah 3 × 2, dengan b22 = 5 dan b31 = –4. Matriks C memiliki ordo 3 × 3 dengan c22 = 0,3 dan c31 = 2,1.

Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika dua matriks tersebut memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen matriks yang bersesuaian sama. Apabila disimbolkan, A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j.

Contoh 2: Menentukan Apakah Dua Matriks Sama

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar, salah, atau kondisional. Jika salah, jelaskan. Jika kondisional, temukan nilai yang membuat pernyataan tersebut benar.

  1. Contoh 2a
  2. Contoh 2a
  3. Contoh 2c

Pembahasan

  1. Pernyataan pada poin 1 adalah salah. Matriks tersebut memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2, dan elemen-elemen yang sama, tetapi elemen-elemen yang bersesuaian tidaklah sama. Pilih elemen pada baris pertama dan kolom pertama, yaitu 1 pada matriks di ruas kiri, sedangkan pada matriks ruas kanan elemen tersebut adalah –3.
  2. Pernyataan pada poin 2 juga salah, karena ordo dari matriks-matriks tersebut tidaklah sama. Ordo dari matriks di ruas kiri adalah 3 × 2, sedangkan matriks di ruas kanan berordo 2 × 3.
  3. Pernyataan pada poin 3 adalah kondisional. Agar pernyataan tersebut bernilai benar, maka a – 2 = 1 (a = 3), 2b = 4 (b = 2), c = –2, dan akan salah jika tidak memenuhi salah satu (atau lebih) dari syarat tersebut.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan atau pengurangan matriks dapat ditentukan dengan mengoperasikan elemen-elemen yang bersesuian dari matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Hal ini mengakibatkan, matriks-matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah matriks-matriks yang memiliki ordo sama, sehingga setiap elemen dari matriks yang satu memiliki elemen yang bersesuaian dengan matriks yang lainnya. Hal ini akan menghasilkan matriks baru yang memiliki ordo yang sama dari matriks-matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Sebagai catatan, aij merepresentasikan elemen dari suatu matriks, sedangkan [aij] merepresentasikan keseluruhan dari matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan D yang memiliki ordo sama.
A + B = C dimana [aij + bij] = [cij],
A – B = D dimana [aij – bij] = [dij].

Contoh 3: Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Hitunglah penjumlahan dan pengurangan dari matriks-matriks berikut.

Contoh 3

  1. A + C
  2. A + B
  3. CA

Pembahasan

  1. Matriks A dan matriks C memiliki ordo yang sama, yaitu 3 × 2. Sehingga kedua matriks tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan sebagai berikut.
    Contoh 3a
  2. Karena matriks A dan B tidak memiliki ordo yang sama, maka operasi penjumlahan tidak dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut.
  3. Pengurangan matriks C oleh A dapat dilakukan karena ordo dari kedua matriks tersebut sama. Berikut pengurangan dari kedua matriks tersebut.
    Contoh 3c

Karena penjumlahan dari matriks didefinisikan sebagai penjumlahan dari elemen-elemen yang bersesuaian, maka sifat-sifat dari penjumlahan bilangan real berlaku pada penjumlahan matriks.

Sifat-sifat Penjumlahan Matriks
Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan Z yang berordo m × n, dengan Z adalah matriks nol. Maka,
A + B = B + A (sifat komutatif)
(A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan)
A + (– A) = (–A) + A = Z (–A merupakan invers penjumlahan dari A)

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XII, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Kesamaan, Penjumlahan, dan Pengurangan Matriks

  1. Ping balik: Kesamaan, Penjumlahan, dan Pengurangan Matriks – Naa's Blog

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s