Program Linear: Menentukan Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif dengan Menggunakan Metode Uji Titik Pojok

Dalam pembahasan “Program Linear: Model Matematika” telah dibahas bagaimana memodelkan suatu permasalahan ke dalam model matematika. Dalam pembahasan tersebut diperoleh pemodelan sebagai berikut.

x + y ≤ 600,
6.000x + 5.000y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

Dari sistem pertidaksamaan tersebut akan dicari nilai-nilai x dan y yang menyebabkan fungsi f(x,y) = 500x + 600y bernilai maksimum. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) ini kemudian disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum tersebut, dapat digunakan metode uji titik pojok.

Sebelum membahas metode uji titik pojok, sebaiknya kalian tahu mengenai nilai optimum. Nilai optimum dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari permintaan soal. Pada permasalahan ini yang diminta adalah nilai maksimum, sehingga kita akan mencari nilai-nilai x dan y yang menyebabkan fungsi objektif bernilai maksimum.

Metode Uji Titik Pojok

Untuk menentukan nilai optimum dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukan langkah-langkah berikut.

1. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud.
2. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
3. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
4. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
5. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

Untuk lebih memahami dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan metode uji pojok, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang
dikeluarkan minimum?

Pembahasan Contoh Soal

Langkah pertama. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud oleh soal. Untuk mengetahui kendala-kendalanya, sebaiknya kita ubah soal tersebut ke dalam tabel sebagai berikut.

Sehingga, kendala-kendalanya dapat dituliskan sebagai berikut.

x + y ≥ 48,
6x + 4y ≥ 240,
x ≥ 0, y ≥ 0, x, y anggota bilangan cacah

Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y.

Langkah kedua. Gambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas. Gambar dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah sebagai berikut (baca: “Program Linear: Menggambar Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel”).

Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu. Titik pojok dari daerah penyelesaian di atas adalah titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y, titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-x, dan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240.

Titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y adalah titik (0, 60). Titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-x adalah titik (48, 0). Sedangkan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini.

Diperoleh, titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24).

Langkah keempat. Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

Langkah kelima. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Dari ketiga hasil tersebut, dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 60 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.

Semoga bermanfaat, yos3prens.