Soal #16

Tentukan hasil dari penjumlahan bilangan-bilangan berikut!

Pembahasan Untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan-bilangan di atas, kita dapat menyederhanakan permasalahan tersebut terlebih dahulu. Perhatikan penjumlahan dari beberapa suku pertama berikut.

Dari beberapa penjumlahan di atas kita dapat mengamati bahwa hasil penjumlahannya sama dengan suatu pecahan yang pembilang dan penyebutnya berupa bilangan-bilangan yang menjadi faktor dari penyebut suku terakhir (faktor yang lebih kecil menjadi pembilang, sedangkan faktor yang lebih besar menjadi penyebut). Sehingga, kita mungkin menduga bahwa,

Atau apabila kita perumum permasalahannya: Untuk bilangan bulat n ≥ 1,

Selanjutnya, mari kita buktikan kebenaran dari dugaan kita tersebut. Untuk itu, mari kita tinjau masing-masing suku dari deret di atas.

Sehingga, kita peroleh

Apabila kita amati, penjumlahan pada ruas kanan persamaan di atas terdiri dari pasangan suku-suku yang saling invers, kecuali suku pertama, yaitu 1, dan suku terakhir, yaitu 1/(n + 1). Sehingga, dengan menggunakan aturan kanselasi, kita mendapatkan

Sehingga, terbukti bahwa

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus deret di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa

Semoga bermanfaat, yos3prens.