Soal #20

Gunakan induksi matematika kuat untuk membuktikan bahwa √2 merupakan bilangan irasional.

Sampul

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat positif b sedemikian sehingga √2 = n/b. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

  1. Pertama, akan kita tunjukkan bahwa P(1) benar. Karena,
    Soal 20-1
    untuk semua bilangan bulat positif b, maka kita dapat menyimpulkan bahwa P(1) benar.
  2. Untuk sebarang bilangan bulat positif k, kita anggap bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat positif ik. Sehingga hipotesis induksi kita adalah bahwa tidak ada bilangan bulat positif b sedemikian sehingga √2 = i/b, untuk semua bilangan bulat positif ik. Selanjutnya kita akan membuktikan kebenaran P(k + 1) dengan kontradiksi. Andaikan √2 = (k + 1)/b untuk suatu bilangan bulat positif b. Maka 2b² = (k + 1)², sehingga (k + 1)² merupakan bilangan genap, dan hasilnya k + 1 juga merupakan bilangan genap (jika k + 1 bilangan ganjil, k + 1 = 2m – 1, maka (k + 1)² = (2m – 1)² = 2(2m² – 2m + 1) – 1 juga bilangan ganjil). Sehingga kita dapat menulis k + 1 = 2t untuk suatu bilangan bulat positif t, sehingga 2b² = 4t² dan b² = 2t². Dengan alasan yang sama dengan sebelumnya, b adalah bilangan genap, sehingga b = 2s untuk suatu bilangan bulat positif s. Maka √2 = (k + 1)/b = 2t/2s = t/s. Akan tetapi ts, sehingga hal ini kontradiksi dengan hipotesis induksi kita, dan kita mendapatkan P(k + 1) benar.

Setelah melakukan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika kuat bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Dengan kata lain tidak ada bilangan bulat positif b sedemikian sehingga √2 = n/b untuk semua bilangan bulat positif n. Jadi √2 merupakan bilangan irasional.