Soal #17

Suatu titik D berada di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa AB + BC > AD + DC!

Pembahasan Mari kita gambar segitiga sebarang dengan titik D di dalamnya. Hubungkan A ke D dan D ke C. Segitiga yang terbentuk bisa berupa segitiga tumpul, akan tetapi solusi kita tidak boleh bergantung pada bentuk segitiga tersebut.

Gambar 1

Jika kita menghubungkan titik D ke B dan perpanjang garisnya sampai memotong sisi di hadapannya di titik D0, maka jelas bahwa AB + BC > AD0 + D0C = AC karena ketaksamaan sisi-sisi segitiga. Karena berdasarkan sifat segitiga AD + DC > AC, maka juga jelas bahwa AD + DC > AD0 + D0C. Kita juga dapat menyatakan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sembarang titik D yang terletak di antara B dan D0.

Misalkan titik D terletak pada garis tinggi yang dibentuk dari titik B ke sisi di hadapannya, seperti yang tampak pada gambar di bawah. Garis tinggi tersebut membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang memiliki satu sisi yang sama. Berdasarkan Teorema Pythagoras, jelas bahwa semakin panjang tinggi segitiga-segitiga tersebut, maka semakin panjang sisi miringnya. Karena BD0 > DD0, maka AB > AD dan BC > DC. Sehingga, AB + BC > AD + DC.

Gambar 2

Sayangnya, jika D tidak pada garis tinggi, maka AD tidak selalu lebih pendek daripada AB. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 3

Kita dapat melihat bahwa AD > AB dan DC < BC. Akan tetapi, bagaimana kita dapat memastikan bahwa AB + BC selalu lebih besar dari AD + DC?

Mungkin kita memerlukan garis bantu untuk menyelesaikan permasalahan ini. Mari kita perpanjang ruas garis AD sampai ruas garis tersebut memotong BC di E. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 4

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga yang bersesuaian kita mendapatkan:

Pembuktian

Sehingga pembuktian kita telah lengkap. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s