Bermain Sulap: Kuadrat Bilangan

Kuadrat suatu bilangan dapat ditentukan secara cepat jika digunakan perkalian bilangan kelipatan 10.

Pola-pola bilangan yang menarik mungkin saja sering kita jumpai di sekitar kita. Di sini kita akan melihat pola hasil kali dua bilangan yang dijumlahkan sama dengan 20. Perhatikan pola berikut.

Selisih terhadap 100

10 × 10 = 100
9 × 11 = 99

1

8 × 12 = 96

4

7 × 13 = 91

9

6 × 14 = 84

16

5 × 15 = 75

25

Adakah pola yang terlihat dalam tabel di atas? Ya, semakin jauh kita pilih bilangan dari 10, maka hasil kalinya juga akan semakin jauh dengan 100. Kemudian, seberapa jauh hasil kali bilangan-bilangan tersebut dengan 100? Jaraknya terhadap 100 adalah 1, 4, 9, 16, 25, … yang bisa dituliskan menjadi 1², 2², 3², 4², 5², …. Mungkin kita bertanya lagi. Apakah pola ini selalu berlaku? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita coba contoh lainnya. Kita pilih dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46 sebagai contoh kita berikutnya.

Selisih terhadap 529

23 × 23 = 529

22 × 24 = 528

1

21 × 25 = 525

4

20 × 26 = 520

9

19 × 27 = 513

16

18 × 28 = 504

25

Sekali lagi, kita bisa melihat bahwa pola yang telah kita temukan juga berlaku untuk dua bilangan yang jumlahnya sama dengan 46. Hasil kali dua bilangan tersebut akan maksimal jika dua bilangan tersebut sama/kembar, kemudian hasil kali tersebut akan turun sebesar 1, 4, 9, 16, 25, dan seterusnya. Berdasarkan dua contoh sebelumnya, kita telah yakin bahwa pola tersebut berlaku secara umum. Kemudian, kita dapat melihat bahwa pola yang telah kita temukan dapat kita gunakan untuk menentukan kuadrat suatu bilangan.

Misalkan kita akan tentukan kuadrat dari 23. Untuk melakukannya, kita tidak perlu melakukan perkalian 23 × 23, akan tetapi kita pilih perkalian yang lebih mudah, yaitu 20 × 26 = 520. Hasil kali ini dekat dengan jawaban yang kita cari, akan tetapi karena kita telah turun dan naik sejauh 3 satuan dari 23, maka kita jumlahkan hasil kali tersebut dengan 3². Sehingga

23² = 20 × 26 + 3² = 520 + 9 = 529

Mari kita coba contoh lainnya. Kita hitung 98 × 98 dengan menggunakan metode ini. Untuk melakukannya, kita naik 2 satuan untuk menuju 100 dan turun dua satuan untuk menuju 96, kemudian kita jumlahkan hasil kali kedua bilangan tersebut dengan 2².

98² = 100 × 96 + 2² = 9604

Jika kita mengkuadratkan bilangan yang memiliki angka terakhir 5, kita dapat melakukannya dengan mudah, karena jika kita naik dan turun 5 satuan dari bilangan tersebut, maka kita akan peroleh bilangan yang memiliki angka terakhir 0. Perhatikan contoh berikut.

45² = 40 × 50 + 5² = 2000 + 25 = 2025
65² = 60 × 70 + 5² = 4200 + 25 = 4225
85² = 80 × 90 + 5² = 7200 + 25 = 7225

Terakhir, kita akan mencoba untuk menghitung kuadrat dari 49. Dengan naik dan turun sejauh 1 satuan, kita peroleh 49² = 50 × 48 + 1². Lalu bagaimana kita menghitung 50 × 48 tanpa menulis perkalian bersusun pada kertas? Abaikan angka 0 pada bilangan 50 dan hitung 5 × 48. Sekarang kita hitung 5 × 40 = 200 dan 5 × 8 = 40. Kita jumlahkan bilangan-bilangan tersebut dan diperoleh 240. Jadi, 50 × 48 = 2400, dan didapatkan

49² = 50 × 48 + 1² = 2400 + 1 = 2401


Sekarang kita akan menjelaskan secara aljabar mengapa metode yang kita lakukan sebelumnya dapat digunakan.

A² = (A + b)(A − b) + b²

dimana A adalah bilangan yang akan dikuadratkan, dan b adalah jarak ke bilangan kelipatan 10 terdekat. Misalkan, jika ketika mengkuadratkan 49, A = 49 dan b = 1, sehingga dengan rumus ini 49² = (49 + 1)(49 − 1) + 1², seperti yang telah kita lakukan pada perhitungan terakhir. Semoga bermanfaat, yos3prens.


RUJUKAN:
Benjamin, Arthur. (2015). The Magic of Math: Solving for x and Figuring Out Why. New York: Basic Books

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kelas IV, Materi SD dan tag , , , , . Tandai permalink.

3 Balasan ke Bermain Sulap: Kuadrat Bilangan

  1. Ping balik: Ilmu Matematika | Pendidikan matematika 2012

  2. Ping balik: Kuadrat Bilangan – Judul Situs

  3. ELIS NENI RUSLIANI berkata:

    sangat…sangat menarik….!

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s