Suku Banyak dan Cara Horner

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema berikut ini menunjukkan bahwa kita dapat menggunakan cara Horner untuk menentukan nilai suku banyak dengan mudah.

Teorema Sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi x – k, maka sisanya adalah nilai f(k).

Bukti Jika pembagi dalam Algoritma Pembagian berbentuk xk untuk k bilangan real, maka sisanya haruslah berupa konstanta (karena derajat sisa kurang dari derajat pembagi). Jika kita misalkan sisa pembagian tersebut adalah s, maka

Bukti Teorema Sisa

Selanjutnya kita ganti x dengan k, maka kita peroleh f(k) = (kk) ∙ H(k) + s, dan dihasilkan f(k) sama dengan sisanya, yaitu s.

Contoh 4: Menggunakan Teorema Sisa

Misalkan f(x) = x5 + 2x4 – 3x³ – x² + 7x – 5.

    1. Tentukan hasil bagi dan sisa f(x) jika dibagi dengan x + 3.
    2. Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan f(–3).

Pembahasan

    1. Karena x + 3 = x – (–3), maka kita dapat melakukan pembagian suku banyak seperti berikut.
      Contoh 4-1
      Hasil baginya adalah x4x³ – x + 10 dan sisanya adalah –35.
    2. Berdasarkan Teorema Sisa, f(–3) merupakan sisa pembagian f(x) oleh x – (–3) = x + 3. Dari bagian (1) kita telah menemukan sisanya adalah –35. Sehingga f(–3) = –35.

Teorema berikut ini dapat membantu kita untuk mensketsa grafik fungsi suku banyak.

Teorema Faktor

Bilangan k merupakan pembuat nol f jika dan hanya jika x – k merupakan faktor f.

Bukti Jika k pembuat nol f maka f(k) = 0, dan berdasarkan Teorema Sisa, kita peroleh

Bukti Teorema Faktor 1

sehingga xk merupakan faktor f(x). Sebaliknya, jika xk merupakan faktor dari f(x), maka f(x) = (xk)H(x). Sehingga

Bukti Teorema Faktor 2

Jadi, k merupakan pembuat nol f(x).

Contoh 5: Memfaktorkan Suku Banyak dengan Teorema Faktor

Misalkan f(x) = 2x³ + 3x² – 3x – 2. Tunjukkan bahwa f(1) = 0, dan gunakan fakta ini untuk memfaktorkan f(x).

Pembahasan Dengan substitusi kita dapat melihat bahwa

Contoh 5 Substitusi

Selanjutnya kita gunakan cara Horner untuk menentukan bentuk pemfaktoran f(x).

Contoh 5 Horner

Sehingga dari hasil di atas kita dapat memfaktorkan f(x) sebagai berikut.

Contoh 5 Pemfaktoran

Contoh 6: Menentukan Suku Banyak dengan Pembuat Nol Tertentu

Carilah suku banyak berderajat empat yang memiliki pembuat nol –2, 1, 2, dan 5, dan koefisien x² adalah 2.

Pembahasan Berdasarkan Teorema Faktor, x – (–2), x – 1, x – 2, dan x – 5 merupakan faktor-faktor suku banyak yang dimaksud. Misalkan

Contoh 6 f(x)

Suku banyak f(x) berderajat empat dan memiliki pembuat nol seperti yang diminta. Akan tetapi koefisien x² dalam f(x) tidak sama dengan 2. Dengan mengalikan suku banyak dengan bilangan tidak nol tidak akan mengubah derajat suku banyak tersebut, sehingga suku banyak yang dimaksud merupakan perkalian konstanta f(x). Jika kita kalikan f(x) dengan 2, maka

Contoh 6 g(x)

yaitu suku banyak yang dimaksud. Grafik suku banyak g ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Contoh 6 Grafik

Perhatikan bahwa pembuat nol g merupakan titik-titik potong grafik dengan sumbu-x.

Penutup

Pada pembahasan ini kita telah belajar bagaimana melakukan pembagian suku banyak dengan menggunakan pembagian bersusun. Pada Contoh 1 kita telah berlatih untuk membagi suatu suku banyak dengan suku banyak lainnya yang berderajat satu dan menuliskannya ke dalam bentuk Algoritma Pembagian. Sedangkan pada Contoh 2 kita telah berlatih untuk melakukan pembagian suku banyak di mana pembaginya merupakan suku banyak berderajat dua.

Selain pembagian bersusun kita juga telah belajar untuk membagi suku banyak dengan menggunakan cara yang lebih sederhana, yaitu cara Horner. Cara Horner ini kita gunakan dalam Contoh 3 untuk melakukan pembagian suku banyak.

Selain itu, kita juga telah mempelajari Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Teorema Sisa ini sangat berguna jika kita ingin menentukan nilai suatu suku banyak. Contoh 4 menunjukkan bagaimana kegunaan teorema ini. Sedangkan Teorema Faktor akan sangat membantu jika kita gunakan untuk menentukan faktor-faktor suku banyak maupun untuk mensketsa grafik suku banyak tersebut. Contoh 5 dan Contoh 6 memberikan gambaran betapa pentingnya teorema ini. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XI, Materi SMA dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s