Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Beberapa proses yang terjadi di sekitar kita, seperti pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, penyebaran kalor, dan banyak lagi lainnya, dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma. Pada pembahasan ini kita akan belajar mengenai pemodelan eksponensial dan logaritma. Secara khusus, pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal berikut ini.

Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

Pendahuluan

Lima jenis model matematis yang paling umum berkaitan dengan fungsi-fungsi eksponensial dan logaritma adalah sebagai berikut.

  1. Model pertumbuhan eksponensial:
    Model 1
  2. Model penurunan eksponensial:
    Model 2
  3. Model Gaussian:
    Model 3
  4. Model pertumbuhan logistik:
    Model 4
  5. Model logaritma:
    Model 5

Bentuk dasar dari grafik fungsi-fungsi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1

Seringkali kita dapat melihat bahwa suatu permasalahan dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial atau logaritma jika kita bisa mengidentifikasi asimtot dari grafik yang diberikan (atau yang kita gambar).

Pertumbuhan dan Penuruan Eksponensial

Contoh 1: Memodelkan Pertumbuhan dan Penurunan Populasi

Tabel berikut ini menunjukkan jumlah penduduk tengah tahun (dalam jutaan) dari lima negara di tahun 2010 dan jumlah penduduk yang diproyeksikan (dalam jutaan) untuk tahun 2020. (Sumber: Wolfram Research.)

Contoh 1 Tabel 1

  1. Carilah model pertumbuhan atau penurunan eksponensial y = aebt atau y = aebt untuk masing-masing negara dengan memisalkan t = 10 untuk tahun 2010. Gunakan model ini untuk memprediksi jumlah penduduk pada masing-masing negara pada tahun 2030.
  2. Kita dapat melihat bahwa laju pertumbuhan penduduk di Indonesia berbeda dengan di Amerika Serikat. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang memberikan laju pertumbuhan penduduk? Apakah hubungan antara laju pertumbuhan penduduk yang berbeda dengan besar konstanta tersebut?
  3. Kita juga dapat melihat bahwa jumlah penduduk di Cina naik, sedangkan jumlah penduduk di Bulgaria turun. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang menunjukkan perbedaan ini? Jelaskan.

Pembahasan Untuk masing-masing negara, misalkan y merupakan jumlah penduduk setelah t tahun.

  1. Pertama kita cari model pertumbuhan penduduk pada negara Bulgaria. Dari tabel kita dapat melihat bahwa ketika t = 10 diketahui y = 7,5 dan ketika t = 20 diketahui y = 7,1. Sehingga kita peroleh
    Contoh 1-1 Substitusi
    Untuk menyelesaikan b, kita selesaikan a pada persamaan pertama.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan a
    Kemudian kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan kedua.
    Contoh 1-1 Menyelesaikan b
    Dengan menggunakan b = (1/10)ln(7,1/7,5) dan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan
    Contoh 1-1 Nilai a
    Sehingga, dengan a ≈ 7,92 dan b = (1/10) ln(7,1/7,5) ≈ –0,0055, model eksponensial pertumbuhan penduduk negara Bulgaria adalah
    Contoh 1-1 Model
    Dengan cara yang sama, kita mendapatkan model pertumbuhan penduduk untuk negara-negara lainnya. Model-model tersebut dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.
    Contoh 1-1 Tabel 2
  2. Dari model yang diperoleh kita dapat melihat bahwa yang mempengaruhi besar kecilnya laju pertumbuhan penduduk adalah konstanta b, yaitu 0,0099 untuk Indonesia dan 0,0116 untuk Amerika Serikat. Semakin besar konstanta b, maka semakin tinggi juga laju pertumbuhan penduduknya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa laju pertumbuhan penduduk di Amerika Serikat lebih tinggi daripada Indonesia.
  3. Konstanta yang mempengaruhi turun naiknya pertumbuhan penduduk adalah konstanta b. Dalam tabel kita dapat melihat bahwa konstanta b pada model pertumbuhan penduduk di Cina adalah 0,0050 (positif) dan di Bulgaria adalah –0,0055 (negatif). Jika pangkat e positif maka nilai y akan naik, karena y = aebt dengan ebt > 1. Sebaliknya jika pangkat e negatif maka nilai y akan turun karena y = ae–bt dapat dituliskan menjadi y = a/ebt. Dengan kata lain, y merupakan hasil bagi a dengan bilangan ebt > 1, sehingga nilai y akan semakin kecil.
Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas X, Materi SMA dan tag , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

2 Balasan ke Pemodelan Eksponensial dan Logaritma

  1. Gita berkata:

    Ko bisa jd 800000…

    Suka

  2. Ping balik: BERBAGI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s