Program Linear (+Video)

Program linear sering digunakan untuk menentukan keputusan-keputusan dalam permasalahan sehari-hari. Misalnya, pada Contoh 5 kita akan menggunakan program linear untuk mengambil keputusan berapa kotak pada masing-masing jenis cokelat yang akan dijual untuk mencapai keuntungan maksimum. Untuk itu, dalam pembahasan ini kita akan berlatih hal-hal berikut.

Program Linear: Metode Grafik

Banyak penerapan dalam bisnis dan ekonomi yang melibatkan suatu proses yang disebut optimalisasi, dimana kita akan menentukan nilai maksimum atau minimum suatu kuantitas tertentu. Dalam pembahasan ini, kita akan belajar mengenai salah satu strategi optimalisasi yang disebut program linear.

Suatu permasalahan program linear dua dimensi terdiri atas fungsi objektif linear dan sistem pertidaksamaan linear yang disebut kendala. Fungsi objektif memberikan kuantitas yang akan kita maksimumkan (atau minimumkan), dan kendala-kendala yang menentukan daerah selesaian. Sebagai contoh, misalkan kita akan memaksimumkan nilai

Fungsi Objektif

yang ditujukan untuk kendala-kendala yang ditentukan oleh daerah selesaian (daerah layak) pada Gambar 1. Karena setiap titik dalam daerah selesaian memenuhi masing-masing kendala, maka belumlah jelas kita akan memilih titik mana agar menghasilkan nilai z maksimum. Akan tetapi, dapat ditunjukkan bahwa jika ada solusi optimalnya, maka titik tersebut terjadi pada salah satu titik-titik pojok daerah selesaiannya. Hal ini berarti bahwa jika kita akan menentukan nilai maksimum z, maka kita perlu menguji setiap titik-titik pojok daerah selesaiannya.

Gambar 1

Solusi Optimal Permasalahan Program Linear

Jika permasalahan program linear memiliki satu solusi, maka solusi tersebut terjadi pada titik pojok daerah selesaian. Jika  terdapat lebih dari satu selesaian, maka paling sedikit satu solusi tersebut terjadi pada titik pojok. Dalam kedua kasus tersebut, nilai fungsi objektif tunggal.

Suatu permasalahan program linear bisa memuat ratusan, bahkan ribuan variabel. Akan tetapi, pada pembahasan ini kita akan menyelesaikan permasalahan program linear yang hanya memuat dua variabel. Panduan untuk menyelesaikan permasalahan program linear dalam dua variabel dirangkum sebagai berikut.


Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

  1. Sketsa daerah yang menjadi solusi sistem yang memuat kendala-kendala. (Semua titik di dalam atau pada batas daerah ini disebut selesaian-selesaian layak.)
  2. Temukan titik-titik pojok daerah selesaian.
  3. Uji fungsi objektif pada masing-masing titik pojok dan pilih nilai variabel yang mengoptimalkan fungsi objektif. Untuk daerah yang terbatas, nilai minimum dan maksimum fungsi objektif akan ada. (Untuk daerah yang tak terbatas, jika solusi optimal ada, maka solusi tersebut terletak pada titik pojok.)

Contoh 1: Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

Tentukan nilai maksimum

Contoh 1 Fungsi Objektif

yang ditujukan ke kendala-kendalam berikut.

Contoh 1 Kendala

Pembahasan Kendala-kendala dalam soal tersebut dapat ditunjukkan oleh Gambar 2. Pada empat titik pojok daerah ini, fungsi objektif permasalahan ini memiliki nilai-nilai sebagai berikut.

Contoh 1 Uji Titik Pojok

Jadi, nilai maksimum z adalah 8, dan nilai ini terjadi ketika x = 2 dan y = 1.

Gambar 2

Pada Contoh 1, kita dapat mencoba menguji beberapa titik di dalam daerah selesaian. Kita akan dapat melihat bahwa nilai z pada titik-titik tersebut kurang dari 8. Berikut ini beberapa contohnya.

Contoh 1 Uji Titik Lain

Untuk melihat mengapa nilai maksimum fungsi objektif dalam Contoh 1 harus terjadi pada titik pojok, kita tulis fungsi objektif ke dalam bentuk berikut.

Contoh 1 Himpunan Garis

dimana

z per 2

adalah perpotongan fungsi objektif dengan sumbu-y. Persamaan ini merepresentasikan himpunan garis yang memiliki gradien –3/2. Dari himpunan garis ini, kita menginginkan satu garis yang memiliki nilai z terbesar tetapi masih memotong daerah selesaian dari kendala-kendala yang diberikan. Dengan kata lain, dari semua garis yang bergradien –3/2, kita menginginkan satu garis yang memiliki titik potong dengan sumbu-y terbesar dan memotong daerah selesaian kendala-kendala, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Perhatikan dari grafik bahwa garis yang kita inginkan tersebut akan melewati satu (atau lebih) titik pojok daerah selesaian.

Gambar 3

Contoh selanjutnya menunjukkan bahwa prosedur dasar yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana fungsi objektif diminimumkan.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kelas XI, Materi SMA dan tag , , , , , , , , , . Tandai permalink.

3 Balasan ke Program Linear (+Video)

  1. Ping balik: BERBAGI

  2. AMIR PINEM berkata:

    Terimakasih Sdr. Yosep karena sudah mau berbagi. “Siapa mengejar kebaikan, berusaha untuk dikenan orang” GBU!

    Suka

  3. Sulistiyati berkata:

    simple tapi jelas, terimakasih sudah berbagi ilmu dengan kami, semoga Tuhan akan membalas semua kebaikan saudara.

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s