Jarak Antara Dua Garis Bersilangan

Permasalahan mengenai jarak antara titik dan bidang, serta jarak antara titik dan garis dalam ruang dapat diselesaikan dengan menggunakan hasil kali titik dan hasil kali silang. Dalam pembahasan ini, kita akan belajar mengenai permasalahan jarak yang ketiga—jarak antara dua garis yang bersilangan dalam ruang. Dua garis dalam ruang dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berpotongan.

Gambar 1 Contoh garis-garis bersilangan

Soal nomor 1 – 3 melatih kita untuk membuktikan bahwa dua garis yang diberikan merupakan garis-garis yang bersilangan. Selain itu, kita juga berlatih dalam menemukan jarak antara dua garis yang bersilangan dengan menggunakan rumus jarak antara suatu titik dengan bidang. Pada soal nomor 4, kita akan menemukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan jarak antara dua garis yang bersilangan.

  1. Soal 1: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  2. Soal 2: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  3. Soal 3: Menentukan jarak dua garis bersilangan.
  4. Soal 4: Menemukan rumus jarak antara dua garis bersilangan.
  5. Rumus jarak antara dua garis bersilangan.

Soal 1: Menentukan Jarak Dua Garis Bersilangan

Perhatikan persamaan-persamaan parametris dua garis dalam ruang berikut.

1Soal

  1. Tunjukkan bahwa kedua garis ini tidak sejajar.
  2. Tunjukkan bahwa dua garis ini tidak berpotongan, sehingga kedua garis tersebut merupakan garis-garis yang bersilangan.
  3. Tunjukkan bahwa kedua garis tersebut terletak pada bidang-bidang yang sejajar.
  4. Tentukan jarak antara bidang-bidang sejajar yang diperoleh dari bagian (3). Jarak ini merupakan jarak antara dua garis bersilangan yang diberikan, L1 dan L2.

Pembahasan Pertama, kita identifikasi vektor arah garis-garis L1 dan L2. Misalkan v1 dan v2 secara berturut-turut adalah vektor-vektor arah L1 dan L2, maka kita mendapatkan

1 v1 v2

  1. Dua garis dalam ruang dikatakan sejajar jika vektor arah satu garis tersebut merupakan perkalian skalar vektor arah garis yang lain. Padahal jika kita menyelesaikan persamaan
    1-1 Perkalian skalar
    kemudian menyamakan komponen-komponen kedua vektor di atas
    1-1 Menentukan k
    maka kita tidak akan menemukan selesaian persamaan tersebut. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa kedua garis ini, L1 dan L2, tidak sejajar.
  2. Dua garis dikatakan berpotongan jika ada satu titik yang terletak pada garis pertama dan garis kedua. Andaikan garis-garis L1 dan L2 berpotongan di P(x0, y0, z0), maka ada t0 dan s0 sedemikian sehingga
    1-2 Sistem
    Selanjutnya kita selesaikan sistem persamaan di atas dengan mengalikan persamaan (1) dengan –1 kemudian kita jumlahkan hasilnya dengan persamaan (2).
    1-2 s0
    Akan tetapi jika kita substitusi s0 = 11/7 ke persamaan (1)
    1-2 t0 (1)
    dan kita substitusi s0 = 11/7 ke persamaan (3)
    1-2 t0 (2)
    maka kita akan mendapatkan nilai t0 yang berbeda. Sehingga sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Hal ini berarti kontradiksi terhadap pengandaian kita di awal. Oleh karena itu, dua garis L1 dan L2 tidak berpotongan. Karena garis-garis L1 dan L2 tidak sejajar dan tidak berpotongan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa kedua garis tersebut bersilangan.
  3. Untuk menunjukkan bahwa garis-garis L1 dan L2 terletak pada bidang-bidang yang sejajar, maka kita harus mencari dua bidang sejajar—satu bidang memuat garis L1, sedangkan bidang lainnya memuat garis L2. Karena dua bidang sejajar memiliki vektor normal yang sama dengan perkalian skalar vektor normal bidang lainnya, maka kita dapat memisalkan bahwa vektor normal kedua bidang tersebut sama (memilih skalar k = 1). Selain itu, vektor-vektor normal tersebut haruslah tegak lurus dengan vektor-vektor arah L1 dan L2. Sehingga,
    1-3 n1=n2
    Selanjutnya kita tentukan titik P yang terletak pada garis L1 dan bidang pertama
    1-3 P
    dan kita peroleh koordinat titik P adalah (4, 5, 1). Selanjutnya kita tentukan titik Q yang terletak pada garis L2 dan bidang kedua.
    1-3 Q
    Kita mendapatkan koordinat titik Q adalah (4, –6, 7).Gambar 2Dengan menggunakan vektor normal n1 = <17, 11, 35> dan titik pada bidang P(4, 5, 1), persamaan bidang pertama dapat ditentukan seperti berikut.1-3 Bidang 1
    Dengan menggunakan vektor normal n2 = <17, 11, 35> dan titik pada bidang Q(4, –6, 7), kita dapat menentukan persamaan umum bidang kedua.
    1-3 Bidang 2
    Jarak antara bidang pertama dan bidang kedua sama dengan jarak antara bidang pertama dengan titik Q, titik pada bidang kedua.
    1-3 Jarak
    Karena jarak dua garis bersilangan sama dengan jarak antara dua bidang sejajar yang memuatnya, maka jarak antara garis-garis bersilangan L1 dan L2 adalah sekitar 2,201.
Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Geometri, Kalkulus, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s