Garis dan Bidang dalam Ruang

Jarak Antara Titik, Bidang, dan Garis

Perhatikan dua jenis permasalahan yang mengenai jarak dalam ruang: (1) menentukan jarak antara titik dan bidang, dan (2) menentukan jarak antara titik dan garis. Solusi dari permasalahan tersebut mengilustrasikan betapa bergunanya vektor-vektor dalam koordinat geometri: permasalahan pertama menggunakan hasil kali titik dua vektor, dan permasalahan kedua menggunakan hasil kali silang.

Gambar 10

Jarak D antara titik Q dan suatu bidang adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan Q dengan bidang tersebut, seperti yang ditunjukkan Gambar 10. Untuk sebarang titik P pada bidang, kita dapat menentukan jarak ini dengan memproyeksikan vektor PQ pada vektor normal n. Panjang proyeksi ini merupakan jarak yang kita harapkan.


Teorema 3 Jarak Antara Titik dan Bidang

Jarak antara suatu bidang dan titik Q (tidak pada bidang) adalah

Teorema 3

dimana P adalah titik pada bidang dan n normal terhadap bidang.


Untuk menentukan titik pada bidang ax + by + cz + d = 0, dimana a ≠ 0, kita dapat memisalkan y = 0 dan z = 0. Kemudian, dari persamaan ax + d = 0, kita mendapatkan titik tersebut adalah

Titik pada Bidang

terletak pada bidang.

Contoh 5: Menentukan Jarak Antara Titik dan Bidang

Tentukan jarak antara titik Q(1, 5, –4) dan bidang 3xy + 2z = 6.

Pembahasan Kita tahu bahwa n = <3, –1, 2> normal terhadap bidang. Untuk menemukan satu titik pada bidang, kita misalkan y = 0 dan z = 0, dan kita dapatkan titik P(2, 0, 0). Vektor dari P ke Q adalah

Contoh 5 PQ

Berdasarkan Rumus Jarak yang diberikan Teorema 3, kita peroleh

Contoh 5 D

Dari Teorema 3, kita dapat menentukan jarak antara titik Q(x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah

Jarak Titik dan Bidang 1

atau

Jarak Titik dan Bidang 2

dimana P(x1, y1, z1) adalah titik pada bidang dan d = –(ax1 + by1 + cz1).

Contoh 6: Menentukan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Dua bidang yang sejajar, 3xy + 2z – 6 = 0 dan 6x – 2y + 4z + 4, ditunjukkan Gambar 11. Untuk menentukan jarak antara bidang tersebut, kita pilih satu titik pada bidang pertama, misalkan (x0, y0, z0) = (2, 0, 0). Kemudian, dari bidang kedua, kita dapat menentukan bahwa a = 6, b = –2, c = 4, dan d = 4, sehingga

Contoh 6 D

Gambar 11

Contoh 7: Menentukan Jarak Antara Bidang dan Garis

Tunjukkan bahwa bidang 2xy – 3z = 4 sejajar dengan garis x = –2 + 2t, y = –1 + 4t, z = 4, dan tentukan jarak antara bidang dan garis tersebut.

Pembahasan Penyelesaian permasalahan di atas disajikan dalam video berikut.

Contoh 8: Menentukan Persamaan Suatu Bola

Tentukan persamaan baku bola dengan pusat (–3, 2, 4) dan menyinggung bidang 2x + 4y – 3z = 8.

Pembahasan Untuk menentukan persamaan bola yang diberikan, perhatikan video di bawah ini.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Geometri, Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Garis dan Bidang dalam Ruang

  1. Ping balik: Garis dan Bidang dalam Ruang – BERBAGI

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s