Penerapan Turunan: Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata

Seperti yang tertulis pada judul, pada pembahasan ini kita akan membahas dua topik. Setelah pembahasan ini diharapkan kita memiliki kemampuan sebagai berikut.

  1. Memahami dan menggunakan Teorema Rolle.
  2. Memahami dan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata.

Rolle's Theorem-01

Teorema Rolle

Teorema Nilai Ekstrim menyatakan bahwa suatu fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] harus memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut. Kedua nilai tersebut dapat terjadi pada ujung selang. Teorema Rolle memberikan kondisi yang menjamin keberadaan nilai ekstrim dalam interior suatu selang tertutup.

Teorema Rolle

Misalkan f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat minimal satu bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga f ’(c) = 0.

Pembuktian Misalkan f(a) = d = f(b).

Kasus 1: Jika f(x) = d untuk semua x dalam [a, b], maka f konstan pada selang tersebut dan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b).

Kasus 2: Misalkan f(x) > d untuk beberapa x dalam (a, b). Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrim, kita tahu bahwa f memiliki nilai maksimum pada c dalam selang tersebut. Selanjutnya, karena f(c) > d, nilai maksimum ini tidak terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai maksimum dalam selang buka (a, b). Hal ini mengakibatkan f(c) merupakan nilai maksimum lokal dan c merupakan nilai kritis f. Oleh karena itu, karena f terdiferensialkan pada c, kita dapat menarik kesimpulan bahwa f ’(c) = 0.

Kasus 3: Misalkan f(x) < d untuk beberapa x dalam (a, b). Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrim, kita tahu bahwa f memiliki nilai minimum pada c dalam selang tersebut. Lebih jauh, karena f(c) < d, nilai minimum tidak terjadi pada kedua ujung selang. Sehingga, f memiliki nilai minimum dalam selang buka (a, b). Hal ini mengakibatkan f(c) merupakan nilai minimum lokal dan c merupakan nilai kritis f. Sehingga, karena f terdiferensialkan pada c, kita dapat menyimpulkan bahwa f ’(c) = 0.

Berdasarkan Teorema Rolle, kita dapat melihat bahwa jika suatu fungsi f kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada (a, b), dan jika f(a) = f(b), maka terdapat minimal satu nilai x antara a dan b sedemikian sehingga grafik f memiliki garis singgung horizontal (perhatikan gambar (a) di bawah). Ketika syarat keterdiferensialan tidak dipenuhi dalam Teorema Rolle, f masih memiliki nilai kritis dalam (a, b), tetapi tidak menghasilkan suatu garis singgung horizontal. Seperti yang ditunjukkan oleh gambar (b) di bawah ini.

Ilustrasi Teorema Rolle

Contoh 1: Ilustrasi Teorema Rolle

Tentukan dua titik potong terhadap sumbu-x dari fungsi f(x) = x² + 4x + 3 dan tunjukkan bahwa f ’(x) = 0 pada suatu titik di antara kedua titik potong tersebut.

Pembahasan Perhatikan bahwa f terdiferensialkan pada seluruh garis bilangan real. Dengan membuat nol f(x) kita mendapatkan

Contoh 1 Pembuat Nol

Sehingga, f(–3) = f(–1) = 0, dan berdasarkan Teorema Rolle kita tahu bahwa ada minimal satu nilai c dalam selang (–3, –1) sedemikian sehingga f ’(c) = 0. Untuk menentukan c tersebut, turunkan f untuk mendapatkan

Contoh 1 Turunan

kemudian selanjutnya kita tentukan f ’(x) = 0 ketika x = –2. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa nilai x tersebut terletak dalam selang (–3, –1), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Contoh 1

Teorema Rolle menyatakan bahwa ketika f memenuhi kondisi teorema, maka harus ada minimal satu titik antara a dan b sedemikian sehingga turunannya nol. Tentu saja mungkin ada lebih dari satu titik yang seperti itu, yang dapat diilustrasikan oleh Contoh 2 berikut.

Contoh 2: Ilustrasi Teorema Rolle

Misalkan f(x) = x4 – 2x². Tentukan semua nilai c pada selang (–2, 2) sedemikian sehingga f ’(c) = 0.

Pembahasan Untuk memulai, perhatikan bahwa fungsi yang diberikan memenuhi kondisi dalam Teorema Rolle, yaitu bahwa f kontinu pada selang [–2, 2] dan terdiferensialkan pada selang (–2, 2). Selanjutnya, karena f(–2) = f(2) = 8, kita dapat menarik kesimpulan bahwa ada minimal satu nilai c dalam (–2, 2) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Karena

Contoh 2 Turunan

dengan mengenolkan turunan fungsi tersebut maka dihasilkan

Contoh 2 Pembuat Nol Turunan

Sehingga, dalam selang (–2, 2), turunan fungsi yang diberikan akan bernilai nol pada tiga tiga nilai yang berbeda, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Contoh 2

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

5 Balasan ke Penerapan Turunan: Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata

  1. kartika berkata:

    kalau boleh saya tahu, bapak memakai referensi apa ya?

    Suka

  2. Agus Saefulloh berkata:

    oh ya, saya sudah pernah mencari turunan suatu fungsi , katakan sja suatu fungsi memiliki turunan 2x, jika kita ingin mencari gradien garis singgung yang menyinggung di titik tertentu, maka tinggal masukan saja titik yang ditanya ke 2x, apakah itu artinya turunan itu terdefinisi di semua titik dalam grafik?

    Suka

  3. Agus Saefulloh berkata:

    saya sudah pernah membacanya, saya sudah menjadi pengikut di sini, saya juga mengerti mengenai permasalahan garis singgung, hanya saja yang masih terasa mengganjal itu, turunan fungsi adalah ‘laju perubahan nilai fungsi’, dan satu lagi saya mendapat cukup banyak informasi dari berbagai sumber,apabila suatu turunan hanya terdefinisi di satu titik saja, artinya titik titik lain dalam grafik fungsi itu memiliki turunan yang berbeda. dan jika anda menyebutkan bahwa turunan adalah limit, itu artinya jika suatu titik dalam grafik fungsi memiliki turunan, maka turunan kanan dan kirinya harus sama yang juga menyebabkan kekontinuan di titik itu? apa saya salah?,

    Suka

  4. yos3prens berkata:

    Definisi turunan suatu fungsi dapat dibaca di sini: http://wp.me/p11ok2-Bl. Di situ dijelaskan bahwa turunan itu merupakan suatu limit fungsi.
    Akan tetapi, menurut saya, pendekatan yang paling bagus untuk mengerti mengenai turunan suatu fungsi dapat digunakan pendekatan garis singgung suatu fungsi (jika ada). Silahkan dibaca di sini: http://wp.me/p11ok2-B3.
    Jika Bpk. Agus masih belum puas terhadap jawaban ini, silahkan tanya lagi. Tks.

    Suka

  5. Agus Saefulloh berkata:

    numpang tanya, saya sedang belajar turunan, jika diberikan soal turunan mungkin saya bisa menyelesaikannya, hanya saja yang ada di pikiran saya itu “apa yang sebenarnya saya cari?” turunan itu menyatakan apa?, saya sudah mencari kesana kemari definisi turunan baik secara intuisi maupun formal, tapi hasilnya tidak ada yang memuaskan, mohon pencerahannya,

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s