Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama

Dalam suatu fungsi, kita mengenal dua jenis karakteristik fungsi tersebut, yaitu fungsi naik dan fungsi turun. Kadang kita bisa mengatakan bahwa suatu fungsi itu selalu naik, atau selalu turun. Sering juga kita menjumpai suatu fungsi yang naik pada selang tertentu, tetapi juga turun pada selang yang lain. Hal-hal itulah yang akan kita diskusikan pada pembahasan ini. Setelah membaca pembahasan ini, diharapkan kita dapat memiliki kemampuan berikut.

  1. Menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun.
  2. Menerapkan Uji Turunan Pertama untuk menemukan nilai ekstrim lokal suatu fungsi.

Fungsi Naik dan Turun

Fungsi Naik dan Turun

Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.


Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).


Fungsi Naik, Konstan, dan TurunSuatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.


Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

  1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
  2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
  3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

Pembuktian

Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

f'(c)

Karena f ’(c) > 0 dan x2x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

f'(c)

Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s