Dekomposisi Bentuk Aljabar Rasional Menjadi Pecahan-Pecahan Parsial

Serupa dengan bilangan rasional, bentuk aljabar rasional memiliki bentuk P(x)/Q(x), dimana P dan Q merupakan polinomial atau suku banyak dan Q(x) ≠ 0. Penjumlahan dari bentuk-bentuk aljabar tersebut dilakukan dengan mengubah masing-masing bentuk aljabar tersebut menjadi bentuk aljabar rasional yang senilai dengan menyamakan penyebutnya. Penjumlahan semacam ini sama dengan apa yang kita lakukan dalam menjumlahkan bilangan rasional. Setelah semua penyebut memiliki bentuk yang sama, kita dapat menjumlahkan suku-suku yang sejenis pada pembilangnya. Dalam penerapan di matematika yang lebih lanjut, kita dapat membalik proses penjumlahan tersebut untuk mendekomposisi atau menguraikan suatu bentuk aljabar rasional menjadi penjumlahan dari beberapa pecahan parsial.

Oleh karena itu, dalam pembahasan ini kita akan membahas beberapa topik. Topik-topik yang akan kita bahas adalah sebagai berikut.

  1. Menuliskan susunan dekomposisi untuk penyebut dengan faktor-faktor linear yang berbeda maupun berulang.
  2. Menuliskan susunan dekomposisi untuk penyebut dengan faktor-faktor kuadrat dan linear.
  3. Menjelaskan prosedur untuk mendekomposisi bentuk aljabar rasional.
  4. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional untuk penyebut dengan faktor-faktor linear.
  5. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional untuk penyebut dengan faktor-faktor kuadrat.
  6. Mendekomposisi bentuk aljabar rasional dengan bantuan Ms. Excel.

Pertama, kita amati proses berikut.

  1. Perhatikan penjumlahan dari bentuk aljabar rasional berikut.
    Pengamatan 1
    Kedua suku dari bentuk aljabar tersebut merupakan pecahan yang wajar (derajat dari pembilang kurang dari derajat penyebutnya) dan memiliki penyebut linear yang berbeda.
    Pengamatan 1 Penjumlahan
    Andaikan kita tidak melihat penjumlahan dua suku di atas, kita dapat membalik proses tersebut dengan menggunakan susunan dekomposisi seperti berikut.
    Pengamatan 1 Dekomposisi
    Kemudian kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan konstanta A dan B. Kita tahu bahwa pembilangnya haruslah konstanta, jika tidak, kita akan mendapatkan pecahan-pecahan yang tidak wajar, padahal bentuk aljabar rasional yang diberikan merupakan bentuk yang wajar.
  2. Selanjutnya perhatikan penjumlahan
    Pengamatan 2
    yang melibatkan dua pecahan yang wajar.
    Pengamatan 2 Penjumlahan

Perhatikan bahwa ketika penyebut barunya merupakan faktor berulang (x – 1)², maka (x – 1) dan (x – 1)² merupakan penyebut dalam penjumlahan aslinya. Dengan menganggap kita tidak tahu penjumlahan aslinya, kita dapat membalik proses di atas dengan menggunakan susunan dekomposisi

Pengamatan 2 Dekomposisi

dan menyelesaikannya untuk mendapatkan konstanta A dan B. Seperti pada pengamatan yang telah kita lakukan pada poin 1, kita tahu bahwa pembilang dari suku pertama haruslah konstanta. Walaupun suku keduanya akan menjadi pecahan yang wajar jika pembilangnya linear (derajat 1), penyebutnya merupakan faktor linear yang berulang dan dengan menggunakan suatu konstanta sebagai pembilang dari semua pecahan semacam ini akan memastikan kita mendapatkan nilai yang tunggal untuk A dan B. Sehingga, untuk sembarang faktor linear berulang (axb)n dalam penyebut aslinya, suku-suku dalam bentuk

Pengamatan 2 Dekomposisi Umum

haruslah muncul dalam susunan dekomposisinya, walaupun nantinya mungkin beberapa pembilang tersebut akan bernilai nol.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XII, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Dekomposisi Bentuk Aljabar Rasional Menjadi Pecahan-Pecahan Parsial

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s