Determinan Matriks, Geometri, dan Bidang Koordinat

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, determinan matriks tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Determinan dari suatu matriks juga dapat digunakan untuk menentukan luas dari segitiga pada bidang koordinat yang diketahui koordinat ketiga titik sudutnya. Bagaimana bisa?

Sebelum kita menggunakan determinan matriks untuk menentukan luas segitiga, perhatikan permasalahan berikut. Diketahui suatu segitiga ABC dengan A(1, 3), B(6, 5), C(3, 2).

Segitiga I

Luas segitiga ABC dapat kita tentukan dengan mengurangkan luas persegi panjang PBQR dengan luas segitiga-segitiga I, II, dan III. Sehingga kita mendapatkan,

Contoh Luas Segitiga

Jadi, secara mudah kita mendapatkan luas dari segitiga tersebut adalah 4 ½ persegi satuan. Selanjutnya kita perumum permasalahan di atas. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3) seperti pada gambar berikut.

Segitiga II

Seperti pada permasalahan sebelumnya, untuk menentukan luas segitiga ABC, kita tentukan terlebih dahulu luas dari segitiga I, II, dan III.

L I, II, & III

Sehingga, jumlah dari luas segitiga I, II, dan III adalah

Jumlah Luas

Selanjutnya, luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan mengurangi persegi panjang (garis putus-putus) dengan jumlah dari luas segitiga I, II, dan III.

Luas ABC

Apabila kita cermati, hasil yang kita peroleh tersebut merupakan setengah dari determinan matriks berikut.

Determinan Matriks

Karena penukaran dua baris dari suatu matriks akan mengakibatkan nilai determinan matriks tersebut berubah tanda, maka kita gunakan nilai mutlak untuk rumus luas segitiga berikut.


Luas Segitiga pada Bidang Koordinat

Diberikan suatu segitiga dengan titik-titik sudutnya (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3), maka luas, L, dari segitiga tersebut adalah

Rumus Luas

dengan,

Matriks T


Perhatikan bahwa matriks T memiliki elemen-elemen x pada kolom pertama, y pada kolom kedua dan konstanta 1 pada kolom ketiga. Selain itu, koordinat (x, y) dari suatu titik sudut haruslah dalam satu baris. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Luas Segitiga dengan Determinan

Tentukan luas dari segitiga yang titik-titik sudutnya (3, 1), (–2, 3), dan (1, 7).

Contoh 1

Pembahasan Pertama kita buat matriks T kemudian kita tentukan determinan dari matriks tersebut.

Contoh 1 Det T

Selanjutnya, kita hitung luasnya

Contoh 1 Luas

Jadi, luas dari segitiga tersebut adalah 13 persegi satuan.

Selanjutnya, mungkin kita bertanya-tanya. Bagaimana jika tiga titik yang diberikan kolinear (segaris)? Apabila ketiga titiknya segaris, maka tidak ada segitiga yang terbentuk. Artinya, luasnya sama dengan nol. Hal ini dapat digunakan untuk menguji kekolinearan dari tiga titik.


Uji Titik-titik Kolinear

Tiga titik (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) kolinear jika

Determinan A


Contoh 2: Uji Kekolinearan dengan Determinan

Tentukan apakah tiga titik yang diberikan berikut kolinear atau tidak.

  1. (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11)
  2. (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9)

Pembahasan

  1. Untuk mengetahui titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) kolinear atau tidak, pertama kita tentukan determinan matriks yang bersesuaian.
    Contoh 2-1 Determinan
    Sehingga, titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) terletak pada garis lurus. Untuk memastikan letak ketiga titik tersebut, perhatikan gambar berikut.
    Contoh 2-1
  2. Dengan cara yang sama, kita tentukan apakah titik-titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) kolinear atau tidak.
    Contoh 2-2 Determinan
    Jadi, ketiga titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) tidak kolinear. Perhatikan gambar berikut.
    Contoh 2-2

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XII, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

3 Balasan ke Determinan Matriks, Geometri, dan Bidang Koordinat

  1. boleh tahukah referensinya

    Suka

  2. Winda berkata:

    Terimakasih……………

    Suka

  3. ace berkata:

    makasih atas ilmunya

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s