Invers dari Suatu Matriks

Dari sifat-sifat bilangan real, kita tahu bahwa invers perkalian dari a adalah a–1 = 1/a (a ≠ 0) karena hasil dari aa–1 dan a–1a adalah unsur identitas, yaitu 1. Untuk menunjukkan bahwa terdapat invers yang serupa di dalam matriks, perhatikan matriks persegi A dan sebarang matriks B berikut.

A dan B

Jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka matriks B menjadi kandidat utama invers dari A, yang disimbolkan dengan A–1. Pada Contoh 1 berikut kita akan menentukan matriks B yang memenuhi AB = I.

Contoh 1: Menyelesaikan AB = I untuk Menemukan A–1

Untuk,

Contoh 1

gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan semua elemen dari B.

Pembahasan Dengan mengalikan dua matriks yang berada di ruas kiri, kita mendapatkan

Contoh 1 Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama apabila elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks tersebut sama (ditunjukan dengan elemen yang warnanya sama). Sehingga, kita mendapatkan dua sistem persamaan sebagai berikut.

Contoh 1 Sistem 1

dan,

Contoh 1 Sistem 2

Pertama, kita selesaikan sistem persamaan yang pertama. Dengan mengalikan satu kepada persamaan pertama dan mengalikan tiga kepada persamaan kedua, kemudian mengurangkannya, kita mendapatkan nilai c sebagai berikut.

Contoh 1 Eliminasi

Dengan mensubstitusi c = –1 ke dalam persamaan 1 kita mendapatkan

Contoh 1 Substitusi

Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem persamaan yang kedua, kita mendapatkan b = –2,5 dan d = 3. Sehingga,

Contoh 1 B

merupakan kandidat utama sebagai invers dari A, atau disimbolkan A–1.

Untuk menentukan apakah A–1 sudah benar-benar ditemukan, kita perlu untuk menguji apakah perkalian dari kanan dan perkalian dari kiri menghasilkan matriks I: AB = BA = I.

Contoh 2: Menguji B = A–1

Dari matriks-matriks pada Contoh 1,

Contoh 2

tentukan apakah AB = BA = I.

Pembahasan

Contoh 2 Pembahasan

Karena AB = BA = I, kita dapat menyimpulkan bahwa B = A–1.

Latihan-latihan yang telah kita kerjakan di atas, menuntun kita ke dalam definisi invers matriks sebagai berikut.

Invers dari Suatu Matriks
Diberikan suatu matriks A dengan ordo n × n, jika ada matriks A–1 berorodo n × n sedemikian sehingga A A–1 = A–1A = I, maka A–1 disebut sebagai invers dari matriks A.

Walaupun hanya matriks persegi yang memiliki invers, tetapi tidak semua matriks persegi memiliki invers. Jika invers dari suatu matriks ada, maka matriks tersebut disebut invertibel. Untuk matriks berordo 2 × 2 yang invertibel, terdapat suatu rumus sederhana untuk menentukan inversnya. Berikut ini rumus untuk menentukan invers dari matriks berordo 2 × 2 tersebut.

Invers dari Matriks 2 × 2
Jika,
A
maka,
A Invers
dengan syarat ad – bc ≠ 0.

Untuk “menguji” rumus tersebut, perhatikan matriks A pada Contoh 1 dengan a = 6, b = 5, c = 2, dan d = 2.

Uji Rumus

Pada penerapan matriks dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai matriks-matriks yang berukuran besar dan elemen-elemnya bukan bilangan bulat. Walaupun cara yang ditunjukkan pada Contoh 1 masih dapat digunakan, tetapi proses tersebut akan sangat memerlukan waktu yang panjang dan menjemukan. Untuk itu, kita akan mendiskusikan cara menentukan invers dari suatu matriks dengan menggunakan Ms. Excel. Perhatikan matriks berikut.

Matriks M

Dengan menggunakan rumus =MINVERSE, kita dapat menentukan invers dari matriks M dengan mudah. Perhatikan caranya sebagai berikut.

Invers M

Untuk menguji kebenaran invers tersebut, kita dapat melihat apakah MM–1 = M–1M = I.

Uji Invers M

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XII, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Invers dari Suatu Matriks

  1. reynata2503 berkata:

    Trims

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s