Matriks Identitas pada Operasi Perkalian

Dari sifat bilangan real, 1 merupakan identitas dari operasi perkalian, karena n ∙ 1 = 1 ∙ n = n. Identitas yang serupa juga terdapat dalam perkalian matriks. Perhatikan matriks berordo 2 × 2,

A

Walaupun perkalian matriks secara umum tidak komutatif, jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = A, maka B merupakan kandidat utama untuk menjadi matriks identitas, disimbolkan dengan I. Agar matriks hasil AB dan BA memungkinkan dan memiliki ordo yang sama dengan A, maka matriks B juga harus berordo 2 × 2. Dengan menggunakan sembarang matriks,

B

kita akan menentukan elemen-elemen dari matriks B tersebut pada Contoh 1 berikut ini.

Contoh 1: Menyelesaikan AB = A untuk Menentukan Matriks Identitas

Untuk,

Contoh 1

gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan nilai dari a, b, c, dan d.

Pembahasan Perkalian pada ruas kiri dari persamaan tersebut memberikan,

Contoh 1 Kesamaan

Karena elemen-elemen yang bersesuaian haruslah sama (ditunjukkan dengan warna yang sama), kita dapat menentukan nilai a, b, c, dan d dengan menyelesaikan sistem-sistem berikut.

Contoh 1 Sistem 1

dan,

Contoh 1 Sistem 2

Dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian menjumlahkan kedua persamaan pada sistem pertama, kita mendapatkan

Contoh 1 Eliminasi

Dengan mensubtitusikan c = 0 ke persamaan pertama pada sistem yang pertama, kita mendapatkan

Contoh 1 Substitusi

Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem yang kedua, kita mendapatkan b = 0 dan d = 1. Sehingga matriks,

Contoh 1 Kandidat I

merupakan kandidat untuk menjadi matriks identitas.

Sebelum kita menentukan bahwa B merupakan matriks identitas, kita harus menunjukkan bahwa AB = BA = A.

Contoh 2: Menunjukkan AB = BA = A

Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut.

Contoh 2

Tentukan apakah AB = A dan BA = A.

Pembahasan

Contoh 2 AB dan BA

Karena AB = BA = A, maka B merupakan matriks identitas I.

Dengan mengganti semua elemen dari matriks,

A2

dengan elemen-elemen dari matriks umum,

A Umum

kita dapat menunjukkan bahwa

I 2x2

merupakan identitas bagi semua matriks berordo 2 × 2. Untuk menentukan identitas matriks yang lebih besar, kita menemukan bahwa hanya matriks persegi yang memiliki identitas terhadap perkalian, karena AI = IA merupakan syarat yang utama (perkalian matriks harus mungkin dilakukan dari kedua arah). Hal ini sering disebut sebagai perkalian dari kanan dan perkalian dari kiri. Dengan menggunakan prosedur yang sama dengan sebelumnya, kita dapat menunjukkan bahwa

I 3x3

merupakan matriks identitas (disimbolkan dengan I3) untuk matriks-matriks yang berordo 3 × 3). Untuk matriks identitas pada perkalian matriks-matriks berordo n × n, In, semua elemen diagonalnya adalah 1 dan 0 untuk elemen yang lainnya. Selain itu, matriks identitas In untuk matriks-matriks persegi adalah unik.

Perhatikan matriks-matriks A dan I3 berikut ini.

A dan I3

Dengan menggunakan Ms. Excel kita dapat menunjukkan bahwa AI3 = A = I3A sebagai berikut.

Excel

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XII, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s