Kesamaan, Penjumlahan, dan Pengurangan Matriks

Matriks memiliki banyak kegunaan, di antaranya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Untuk memahami penerapaan matriks yang lebih luas, kita perlu untuk mengetahui operasi-operasi dalam matriks, dalam pembahasan ini kita hanya akan membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, serta kesamaan dari dua matriks.

Untuk mempelajari matriks secara efektif, pertama kita akan mendefinisikan matriks secara umum. Untuk matriks umum A, semua elemen/anggotanya dinotasikan sebagai huruf kecil “a”, dengan posisi dari elemen tersebut ditunjukkan dengan indeks rangkap a_ij. Huruf i dan j secara berturut-turut menyatakan urutan baris dan kolom dari elemen matriks yang dimaksud. Matriks A secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Ukuran dari matriks disebut sebagai ordo, sehingga kita dapat mengatakan bahwa matriks A di atas berordo m × n. Perhatikan bahwa semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal matriks memiliki bilangan kolom dan baris yang sama, a_ij, dimana i = j. Demikian juga, apabila elemen-elemen dari matriks A dituliskan dengan a_ij, maka elemen-elemen dari matriks B dapat dituliskan sebagai b_ij, elemen-elemen matriks C sebagai c_ij, dan seterusnya.

Contoh 1: Mengidentifikasi Ordo dan Elemen dari Suatu Matriks

Nyatakan ordo dari masing-masing matriks berikut dan elemen-elemen yang bersesuaian dengan a₂₂, a₃₁; b₂₂, b₃₁; dan c₂₂, c₃₁.

Pembahasan Matriks A memiliki 2 baris dan 2 kolom, sehingga matriks A berordo 2 × 2, dengan a₂₂ = –3 (elemen yang terletak pada kolom ke-2 dan baris ke-2 adalah –3), dan tidak ada elemen a₃₁ dalam matriks A (A hanya berordo 2 × 2). Matriks B memiliki 3 baris dan 2 kolom, sehingga ordo dari matriks B adalah 3 × 2, dengan b₂₂ = 5 dan b₃₁ = –4. Matriks C memiliki ordo 3 × 3 dengan c₂₂ = 0,3 dan c₃₁ = 2,1.

Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika dua matriks tersebut memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen matriks yang bersesuaian sama. Apabila disimbolkan, A = B jika a_ij = b_ij untuk setiap i dan j.

Contoh 2: Menentukan Apakah Dua Matriks Sama

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut benar, salah, atau kondisional. Jika salah, jelaskan. Jika kondisional, temukan nilai yang membuat pernyataan tersebut benar.

1. 
2. 
3. 

Pembahasan

1. Pernyataan pada poin 1 adalah salah. Matriks tersebut memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2, dan elemen-elemen yang sama, tetapi elemen-elemen yang bersesuaian tidaklah sama. Pilih elemen pada baris pertama dan kolom pertama, yaitu 1 pada matriks di ruas kiri, sedangkan pada matriks ruas kanan elemen tersebut adalah –3.
2. Pernyataan pada poin 2 juga salah, karena ordo dari matriks-matriks tersebut tidaklah sama. Ordo dari matriks di ruas kiri adalah 3 × 2, sedangkan matriks di ruas kanan berordo 2 × 3.
3. Pernyataan pada poin 3 adalah kondisional. Agar pernyataan tersebut bernilai benar, maka a – 2 = 1 (a = 3), 2b = 4 (b = 2), c = –2, dan akan salah jika tidak memenuhi salah satu (atau lebih) dari syarat tersebut.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan atau pengurangan matriks dapat ditentukan dengan mengoperasikan elemen-elemen yang bersesuian dari matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Hal ini mengakibatkan, matriks-matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah matriks-matriks yang memiliki ordo sama, sehingga setiap elemen dari matriks yang satu memiliki elemen yang bersesuaian dengan matriks yang lainnya. Hal ini akan menghasilkan matriks baru yang memiliki ordo yang sama dari matriks-matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan. Sebagai catatan, a_ij merepresentasikan elemen dari suatu matriks, sedangkan [a_ij] merepresentasikan keseluruhan dari matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan D yang memiliki ordo sama.
A + B = C dimana [a_ij + b_ij] = [c_ij],
A – B = D dimana [a_ij – b_ij] = [d_ij].

Contoh 3: Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Hitunglah penjumlahan dan pengurangan dari matriks-matriks berikut.

1. A + C
2. A + B
3. C – A

Pembahasan

1. Matriks A dan matriks C memiliki ordo yang sama, yaitu 3 × 2. Sehingga kedua matriks tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan sebagai berikut.
   
2. Karena matriks A dan B tidak memiliki ordo yang sama, maka operasi penjumlahan tidak dapat dilakukan pada kedua matriks tersebut.
3. Pengurangan matriks C oleh A dapat dilakukan karena ordo dari kedua matriks tersebut sama. Berikut pengurangan dari kedua matriks tersebut.
   

Karena penjumlahan dari matriks didefinisikan sebagai penjumlahan dari elemen-elemen yang bersesuaian, maka sifat-sifat dari penjumlahan bilangan real berlaku pada penjumlahan matriks.

Sifat-sifat Penjumlahan Matriks
Diberikan matriks-matriks A, B, C, dan Z yang berordo m × n, dengan Z adalah matriks nol. Maka,
A + B = B + A (sifat komutatif)
(A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)
A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan)
A + (– A) = (–A) + A = Z (–A merupakan invers penjumlahan dari A)

Semoga bermanfaat, yos3prens.