Pembuktian Teorema: RAA (Reductio Ad Absurdum)

Seperti yang telah diketahui, semua torema dalam matematika merupakan pernyataan kondisional, yang memiliki bentuk

Jika [hipotesis] maka [kesimpulan].

Akan tetapi dalam beberapa kasus, suatu teorema hanya menyatakan kesimpulannya; atau dengan kata lain, hipotesis dari teorema tersebut tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika teorema tersebut tidak dinyatakan dalam bentuk kondisional, kita tetap dapat mengubahnya ke dalam bentuk kondisional. Sebagai contoh,

Sudut-sudut alas dalam segitiga sama kaki kongruen.

Teorema tersebut dapat diinterpretasikan sebagai berikut.

Jika suatu segitiga memiliki dua sisi yang kongruen, maka sudut-sudut yang menghadap kedua sisi tersebut kongruen.

Suatu pernyataan kondisional menyatakan bahwa satu kondisi (hipotesis) menyebabkan hal lainnya (kesimpulan). Jika kita menotasikan hipotesis dengan H, kesimpulan dengan K, dan kata “menyebabkan” dengan tanda panah ⇒, maka setiap teorema dapat dituliskan dalam bentuk H ⇒ K. Dalam contoh di atas, H adalah “dua sisi suatu segitiga kongruen” dan K menyatakan “sudut-sudut yang menghadap dua sisi tersebut kongruen.”

Ilustrasi Teorema

Akan tetapi tidak semua pernyataan kondisional merupakan suatu teorema. Sebagai contoh, pernyataan berikut.

Jika segitiga ABC merupakan segitiga sembarang, maka segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki.

Pernyataan di atas bukan merupakan suatu teorema, karena teorema merupakan suatu pernyataan yang terbukti benar. Kita dapat membuktikan pernyataan di atas salah dengan menunjukkan terdapat segitiga yang bukan merupakan segitiga sama kaki, misalkan segitiga yang berukuran 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Seperti yang dikatakan sebelumnya, teorema merupakan pernyataan yang terbukti kebenarannya. Sehingga bukti dari suatu teorema diperlukan di sini. Salah satu teknik membuktikan teorema adalah dengan reductio ad absurdum, atau disingkat RAA.

Untuk membuktikan suatu pernyataan kondisional dengan RAA, kita memulainya dengan mengandaikan bahwa kesimpulan yang akan kita buktikan adalah salah. Kita sebut pengandaian tersebut sebagai hipotesis RAA, untuk membedakannya dengan hipotesis H. Hipotesis RAA tersebut merupakan hipotesis sementara yang kita gunakan untuk menurunkan suatu pernyataan yang absurd (maksud dari “absurd” di sini adalah bertentangan dengan sesuatu yang telah diketahui valid). Pernyataan tersebut bisa bertentangan dengan suatu aksioma, teorema ataupun hipotesis RAA. Sehingga, karena pengandaian negasi C mengarah ke pernyataan yang tidak benar, maka C haruslah benar. Hal ini disebut sebagai kesimpulan RAA.

Untuk membuktikan pernyataan H ⇒ C, andaikan negasi dari C bernilai benar (hipotesis RAA) dan deduksi suatu pernyataan yang absurd, dengan menggunakan hipotesis H (jika perlu) dari pernyataan tersebut.

Selanjuntya, mari kita mengilustrasikan aturan tersebut dengan membuktikan proposisi berikut.

Proposisi: Jika l dan m adalah garis-garis yang berbeda dan tidak sejajar, maka l dan m memiliki titik potong yang tunggal.

Bukti:

  1. Karena l dan m tidak sejajar, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong (berdasarkan definisi kesejajaran).
  2. Karena kita ingin membuktikan ketunggalan dari titik potong tersebut, kita andaikan sebaliknya, yaitu garis-garis l dan m memiliki dua titik potong yang berbeda, A dan B (hipotesis RAA).
  3. Sehingga terdapat lebih dari dua garis yang melalui A dan B (berdasarkan langkah 2 dan hipotesis teorema, lm).
  4. A dan B dihubungkan oleh tepat satu garis (Postulat Euclid I)
  5. Titik potong dari l dan m haruslah tunggal (3 bertentangan dengan 4, kesimpulan RAA).

Sebagai ilustrasi lainnya, kita akan mencoba untuk membuktikan bahwa untuk sembarang segitiga sama kaki siku-siku ABC, panjang sisi miringnya adalah bilangan irasional. Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita dapat memilih segitiga ABC sama kaki siku-siku di C dan panjang kedua kakinya 1 satuan panjang. Sehingga, dengan menggunakan Teorema Pythagoras kita dapat menentukan panjang dari sisi miringnya adalah √2. Sehingga kita harus membuktikan bahwa √2 merupakan bilangan irasional, atau tidak rasional.

Segitiga Siku-siku

Apa itu bilangan rasional? Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Perhatikan ilustrasi berikut.

Proposisi: √2 merupakan bilangan irasional.

Bukti: Pertama kita andaikan sebaliknya, yaitu √2 merupakan bilangan rasional (hipotesis RAA). Dengan kata lain, kita dapat menuliskan √2 = a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan tidak mengurangi perumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa a/b adalah bentuk paling sederhana dari pecahan, sehingga a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan b kemudian mengkuadratkan kedua ruas kita memperoleh 2b² = a². Dari sini, kita mendapatkan bahwa a² merupakan suatu bilangan genap, yang mengakibatkan a juga bilangan genap (jika a bilangan gasal, a = 2m – 1, maka a² = 2(2m² – 2m + 1) – 1 juga merupakan bilangan gasal). Karena a bilangan genap, maka a dapat dituliskan sebagai a = 2p untuk suatu bilangan bulat p. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut kita peroleh a² = 4p². Dengan mensubstitusikan a² = 2b² ke dalam persamaan a² = 4p², kita peroleh b² = 2p². Persamaan ini mengatakan bahwa b² adalah bilangan genap, sehingga b juga bilangan genap.

Dari sini kita menunjukkan bahwa a dan b adalah bilangan genap, yang artinya, kedua bilangan tersebut memiliki 2 sebagai faktor persekutuannya. Hal ini kontradiksi karena kita telah mengasumsikan bahwa a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Jadi, √2 merupakan bilangan irasional (kesimpulan RAA). Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Topik Matematika dan tag , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s