Definisi Rekursif dari Penjumlahan dan Perkalian

Penjumlahan dan perkalian disebut sebagai operasi biner karena hanya dua bilangan yang dapat dijumlahkan atau dikalikan dalam satu proses operasi. Sehingga, definisi penjumlahan dan perkalian yang melibatkan lebih dari dua bilangan menggunakan rekursi.

Definisi
Diberikan bilangan-bilangan a1, a2, …, an, dengan n adalah bilangan bulat positif, sigma dari i = 1 sampai n dari ai, didefinisikan sebagai berikut:
Definisi Sigma
Perkalian dari i = 1 sampai n dari ai, didefinisikan sebagai berikut:
Definisi Produk

Dampak dari definisi tersebut adalah untuk merinci bagaimana kita mengurutkan bilangan-bilangan yang akan kita jumlahkan atau kalikan. Sebagai contoh,

Contoh Sigma

Definisi rekursif digunakan dengan induksi matematika untuk menentukan berbagai macam sifat dari sigma dan perkalian bilangan-bilangan terhingga. Perhatikan contoh berikut.

Contoh: Sigma dari Penjumlahan

Buktikan untuk setiap bilangan bulat positif n, jika a1, a2, …, an dan b1, b2, …, bn adalah bilangan-bilangan real, maka

Contoh Soal

Pembahasan Pembuktian berikut menggunakan induksi matematika. Misalkan P(n) adalah pernyataan berikut.

P(n)

Kita akan membuktikan bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 0. Kita akan membuktikan hal tersebut dengan induksi matematika sebagai berikut.

Tunjukkan bahwa P(1) benar: Untuk menentukan P(1), kita harus menunjukkan bahwa

P(1)

Padahal,

Bukti P(1)

Sehingga, P(1) benar.

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat k ≥ 1, jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar: Andaikan a1, a2, …, an dan b1, b2, …, bn adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga untuk suatu k ≥ 1,

P(k)

Kita akan tunjukkan bahwa,

P(k+1)

Padahal ruas kiri dari persamaan di atas adalah

Bukti P(k+1)

yang sama dengan ruas kanan dari persamaan di atas. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Matematika Diskrit, Topik Matematika dan tag , , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s