Mendefinisikan Barisan Secara Rekursif

Suatu barisan dapat didefinisikan dengan berbagai macam cara. Salah satu cara informalnya adalah dengan menuliskan beberapa suku pertama dari barisan tersebut dengan harapan pola umunya dapat diamati dengan jelas, misalkan kita bisa saja menuliskan barisan 3, 5, 7, …. Akan tetapi, salah pengertian mungkin bisa saja terjadi dalam menentukan pola dari contoh barisan tersebut. Suku selanjutnya dari contoh barisan tersebut adalah 9, apabila kita memandang barisan tersebut sebagai barisan bilangan-bilangan ganjil, atau kita juga dapat menduga bahwa suku selanjutnya dari barisan tersebut adalah 11, jika kita mengartikan barisan tersebut sebagai barisan bilangan-bilangan prima.

Cara kedua dalam mendefinisikan barisan adalah dengan menggunakan rumus eksplisit untuk suku ke-n-nya. Sebagai contoh, suatu barisan a0, a1, a2, … dapat ditentukan dengan menuliskan,

Contoh Rumus Eksplisit

Kelebihan pendefinisian barisan dengan rumus eksplisit adalah bahwa masing-masing suku dari barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan substitusi dan dengan langkah-langkah yang terhingga.

Cara ketiga dalam mendefinisikan barisan adalah dengan menggunakan rekursi. Cara ini memerlukan suatu persamaan, yang disebut relasi rekursif (recurrence relation), yang mendefinisikan suatu suku dalam barisan dengan merujuk pada suku-suku sebelumnya dan satu atau lebih nilai awal untuk barisan tersebut.

Pada kasus tertentu, pendefinisian suatu barisan dengan rumus eksplisit sangat sulit atau bahkan tidak mungkin dilakukan, tetapi pendefinisian tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan rekursi. Yang perlu diperhatikan, pendefinisian suatu barisan secara rekursif serupa dengan pembuktian teorema dengan menggunakan induksi matematika. Relasi rekursif serupa dengan tahap induksi, sedangkan nilai-nilai awal serupa dengan langkah basis pada induksi matematika. Selanjutnya, perhatikan definisi berikut.

Suatu relasi rekursif untuk barisan a0, a1, a2, … merupakan rumus yang menghubungkan masing-masing suku ak dengan suku-suku sebelumnya ak – 1, ak – 2, …, ak – i, dengan i adalah bilangan bulat sedemikian sehingga k – i ≥ 0. Kondisi-kondisi awal untuk suatu relasi rekursif menetapkan nilai-nilai a0, a1, a2, …, ai – 1, jika i merupakan bilangan bulat tertentu, atau a0, a1, a2, …, am, di mana m merupakan suatu bilangan bulat dengan m ≥ 0, jika i bergantung dengan k.

Untuk lebih memahami mengenai pendefinisian barisan dengan rekursi, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Suku-suku dari Suatu Barisan

Didefinisikan suatu barisan c0, c1, c2, … secara rekursif sebagai berikut: Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

Contoh 1 Rekursi

Tentukan c2, c3, dan c4.

Pembahasan Untuk menentukan c2, c3, dan c4, kita dapat mensubstitusikan k = 2, 3, 4 pada relasi rekursif dan menggunakan kondisi-kondisi awalnya.

Contoh 1 Pembahasan

Jadi, kita peroleh c2 = 5, c3 = 12, dan c4 = 33.

Suatu relasi rekursif yang diberikan dapat juga dinyatakan ke dalam beberapa cara yang berbeda. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2: Menuliskan Relasi Rekursif dalam Beberapa Cara

Milsakan s0, s1, s2, … adalah suatu barisan yang memenuhi relasi rekursif berikut: Untuk semua bilangan bulat k ≥ 1,

Contoh 2 sk

Jelaskan mengapa pernyataan berikut bernilai benar: Untuk semua bilangan bulat k ≥ 0,

Contoh 2 sk + 1

Pembahasan Dalam bahasa informal, relasi rekursif tersebut menyatakan bahwa sembarang suku dalam barisan tersebut sama dengan tiga kali suku sebelumnya kemudian dikurangi satu. Sehingga untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 0, suku sebelumnya dari sk + 1 adalah sk. Sehingga untuk semua bilangan bulat k ≥ 0, sk + 1 = 3sk.

Suatu barisan yang didefinisikan secara rekursif tidak harus diawali dengan suku ke-0. Selain itu, relasi rekursif yang diberikan bisa saja dipenuhi oleh beberapa barisan yang berbeda; nilai-nilai sebenarnya dari barisan tersebut ditentukan oleh kondisi-kondisi awalnya.

Contoh 3: Barisan-barisan yang Memenuhi Relasi Rekursif yang Sama

Misalkan a1, a2, a3, … dan b1, b2, b3, … memenuhi relasi rekursif yang menyatakan bahwa suku ke-k sama dengan tiga kali suku ke-(k1) untuk semua bilangan bulat k ≥ 2:

Contoh 3 Relasi Rekursif

Tetapi misalkan kondisi awal dari barisan-barisan tersebut berbeda:

Contoh 3 Kondisi Awal

Tentukan a2, a3, a4 dan b2, b3, b4.

Pembahasan Pertama kita tentukan nilai dari suku-suku ke 2, 3, dan 4 dari barisan pertama.

Contoh 3 Menentuka a

Sehingga (an) = 2, 6, 18, 54, …. Selanjutnya kita tentukan suku-suku ke 2, 3, dan 4 dari barisan kedua.

Contoh 3 Menentukan b

Diperoleh (bn) = 1, 3, 9, 27, …. Dari ilustrasi di atas, walaupun barisan pertama dan kedua memiliki relasi rekursif yang sama, kedua barisan tersebut merupakan dua barisan yang berbeda.

Contoh 4: Barisan dengan Rumus Eksplisit yang Memenuhi Relasi Rekursif Tertentu

Barisan dari bilangan-bilangan Catalan, sering muncul di berbagai konteks yang patut diperhatikan dalam matematika. Barisan tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 1,

Contoh 4 Rumus Eksplisit

Tentukan C1, C2, dan C3. Tunjukkan bahwa barisan tersebut memenuhi relasi rekursif,

Contoh 4 Relasi Rekursif

untuk semua bilangan bulat k ≥ 2.

Pembahasan Untuk menentukan C1, C2, dan C3, kita dapat langsung melakukan substitusi n = 1, 2,3 ke dalam rumus eksplisit barisan tersebut.

Contoh 4 Menentukan C

Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa barisan tersebut memenuhi relasi rekursif yang diberikan. Untuk memperoleh suku ke-k dan suku ke-(k – 1), kita cukup substitusi k dan k – 1 ke dalam n pada rumus eksplisitnya.

Contoh 4 Ck dan Ck - 1

Kemudian kita mulai dari ruas kanan relasi rekursif untuk diubah ke dalam bentuk ruas kirinya: Untuk setiap bilangan bulat k ≥ 2,

Contoh 4 Pembuktian

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Matematika Diskrit dan tag , , , , . Tandai permalink.

2 Balasan ke Mendefinisikan Barisan Secara Rekursif

  1. indah berkata:

    salam
    selamat siang pak. saya mau bertanya

    untuk kutipan kata-kata berikut anda dapat referensinya dari mana?

    “Kelebihan pendefinisian barisan dengan rumus eksplisit adalah bahwa masing-masing suku dari barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan substitusi dan dengan langkah-langkah yang terhingga.”

    Terimakasih

    Suka

  2. Rahmat berkata:

    terimakasih bimbingannya saya masih belajar dan berusaha memahami semua ini, walaupun rada bingung tapi tetap harus berusaha

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s