5 Soal dan Pembahasan Permasalahan Fokus Suatu Hiperbola

Permasalahan yang melibatkan fokus suatu hiperbola banyak kita jumpai di berbagai bidang. Seperti permasalahan fokus pada elips, hanya beberapa informasi hiperbola yang nantinya akan diketahui. Untuk itu, kita harus memanipulasi persamaan hiperbola yang diberikan atau bahkan membangun persamaan hiperbola dari suatu informasi tertentu untuk menentukan selesaian yang diberikan.

Soal 1: Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet

Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x² – 400y² = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Pembahasan Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,

Sehingga, kita peroleh p = 20 (p² = 400) dan q = 46 (q² = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f², kita mendapatkan,

Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 10⁷ kilometer.

Soal 2: Lokasi dari Suatu Badai

Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.

Pembahasan Misalkan M₁ merupakan ahli meteorologi pertama dan M₂ merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M₂, maka lokasi M₁, 9 ∙ 340 = 3.060 m lebih jauh dari M₁ terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, |M₁S| – |M₂S| = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M₁ dan M₂ terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.

Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M₁ dan M₂ adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M₁ atau M₂ adalah f = 1/2 ∙ 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan

Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah

Halaman: 1 2 3