Perbedaan antara Persamaan-persamaan Lingkaran, Elips, dan Hiperbola

Terdapat beberapa macam kurva dalam keluarga irisan kerucut, 3 di antaranya adalah lingkaran, elips, dan hiperbola. Pada contoh berikut, kita akan mengidentifikasi jenis kurva apa yang dibentuk oleh persamaan-persamaan yang diberikan, tanpa melukis grafik persamaannya. Seperti yang akan kita ketahui, jenis-jenis persamaan yang bersesuaian akan memiliki karakteristik tertentu yang dapat membantu kita untuk membedakan antara persamaan satu dengan persamaan lainnya.

Contoh: Mengidentifikasi Irisan Kerucut dari Persamaannya

Identifikasi masing-masing persamaan berikut apakah merupakan persamaan lingkaran, elips, ataukah hiperbola. Berikan alasanmu dan tentukan titik pusatnya, tetapi jangan menggambar grafik-grafiknya.

  1. y2 = 36 + 9x2
  2. 4x2 = 16 – 4y2
  3. x2 = 225 – 25y2
  4. 25x2 = 100 + 4y2
  5. 3(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 12
  6. 4(x + 5)2 = 36 + 9(y – 4)2

Pembahasan

  1. Dengan menulis persamaannya menjadi y2 – 9x2 = 36, kita memperoleh a = 0 dan b = 0. Karena persamaan tersebut memuat selisih suku-suku berderajat dua, maka persamaan tersebut merupakan persamaan hiperbola (vertikal). Titik pusat dari hiperbola tersebut adalah (0, 0).
  2. Kita tulis kembali persamaan tersebut menjadi 4x2 + 4y2 = 16, kemudian membagi kedua ruas dengan 4, maka kita akan memperoleh persamaan x2 + y2 = 4. Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran berjari-jari 2 dan memiliki titik pusat di (0, 0).
  3. Persamaan x2 = 225 – 25y2 dapat ditulis menjadi x2 + 25y2 = 225. Persamaan tersebut terdiri dari penjumlahan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (0, 0).
  4. Dengan menulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 25x2 – 4y2 = 100, kita dapat melihat persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan dari hiperbola (horizontal) dengan titik pusat di (0, 0).
  5. Persamaan yang diberikan memiliki bentuk pemfaktoran dan memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua dengan koefisien yang berbeda. Persamaan ini merupakan persamaan suatu elips dengan titik pusat di (2, –3).
  6. Setelah kita tulis kembali persamaan yang diberikan menjadi 4(x + 5)2 – 9(y – 4)2 = 36, kita dapat mengamati bahwa persamaan tersebut memuat pengurangan suku-suku berderajat dua yang memiliki koefisien berbeda. Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan suatu hiperbola horizontal dengan titik pusat di (–5, 4).

Dari 5 soal latihan di atas, kita sudah dapat membedakan antara persamaan-persamaan lingkaran, elips, dan hiperbola. Persamaan-persamaan lingkaran dan elips memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Akan tetapi, suku-suku berderajat dua pada persamaan lingkaran memiliki koefisien yang sama. Sebaliknya, suku-suku berderajat dua pada persamaan elips memiliki koefisien yang berbeda. Pada hiperbola, persamaannya memuat pengurangan suku-suku berderajat dua. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas XI, Topik Matematika dan tag , , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s