Akar Dua Merupakan Bilangan Irasional

Pada pembahasan ini kita akan membuktikan bahwa tidak ada bilangan rasional yang apabila dikuadratkan sama dengan 2. Pada pembuktian tersebut kita akan menggunakan notasi bilangan genap dan ganjil. Untuk mengingat kembali, suatu bilangan asli disebut bilangan genap jika bilangan tersebut dapat dibentuk ke dalam 2n, untuk suatu n bilangan asli. Sedangkan bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2n – 1, untuk suatu n bilangan asli. Setiap bilangan asli merupakan bilangan genap atau ganjil, tetapi tidak keduanya. Dengan kata lain, tidak ada bilangan asli yang merupakan bilangan genap dan ganjil sekaligus.

Akar Dua

Teorema Tidak ada bilangan rasional r sedemikian sehingga r2 = 2.

Bukti Andaikan p dan q adalah bilangan bulat sedemikian sehingga (p/q)2 = 2. Kita juga perlu mengasumsikan bahwa p dan q merupakan bilangan positif yang saling prima. Karena p2 = 2q2, kita dapat melihat bahwa p adalah bilangan genap. Hal ini akan menyebabkan bahwa p juga merupakan bilangan genap (karena jika p = 2n – 1 ganjil, maka p2 = 2(2n2 – 2n + 1) – 1 juga merupakan bilangan ganjil). Karena p dan q saling prima maka kedua bilangan tersebut tidak memiliki 2 sebagai faktor persekutuannya. Sehingga, q adalah bilangan ganjil.

Karena p adalah bilangan genap, maka p = 2m untuk suatu bilangan asli m. Sehingga, 4m2 = 2q2 yang menyebabkan 2m2 = q2. Sehingga q2 merupakan bilangan genap, yang sesuai dengan argumen pada paragraf sebelumnya, q juga merupakan bilangan genap.

Karena hipotesis bahwa (p/q)2 = 2 menyebabkan kesimpulan yang kontradiksi, yaitu q merupakan bilangan ganjil dan genap sekaligus, maka hipotesis tersebut salah. Jadi, tidak ada bilangan rasional r sedemikan sehingga r2 = 2. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Analisis Real, Topik Matematika dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Akar Dua Merupakan Bilangan Irasional

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s