Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

Blaise Pascal (Small)Sebelum kita membuktikan teorema binomial, kita akan membahas rumus yang akan digunakan untuk membuktikan teorema binomial tersebut, yaitu rumus Pascal. Rumus Pascal, yang dinamai oleh matematikawan dan ahli filsafat asal Prancis Blaise Pascal, merupakan satu dari beberapa rumus yang sangat terkenal dan berguna pada kajian masalah pencacahan. Rumus Pascal menghubungkan nilai kombinasi r dari n + 1 objek dengan kombinasi r – 1 dan r dari n objek. Secara lebih jelas, rumus Pascal menyatakan bahwa,

Rumus Pascal

dengan n dan r adalah bilangan bulat positif dan rn. Rumus ini dapat digunakan untuk mempermudah penghitungan nilai kombinasi yang besar dengan menuliskannya ke dalam kombinasi yang lebih kecil: Jika nilai kombinasi r dari n objek diketahui, maka nilai kombinasi r dari n + 1 objek dapat dihitung untuk semua r sedemikian sehingga 0 < rn.

Segitiga Pascal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini, merupakan versi geometris dari rumus Pascal.

Rumus dan Segitiga Pascal

Setiap bilangan pada segitiga di atas sama dengan kombinasi r dari n objek. Rumus Pascal menyatakan bahwa bilangan pada baris r dan kolom n + 1 sama dengan bilangan pada baris n kolom r – 1 ditambah dengan bilangan pada baris n kolom r. Hal ini berarti, bilangan yang ada di dalam segitiga Pascal sama dengan penjumlahan dari dua bilangan yang terletak tepat di sebelah kiri-atas dan kanan-atasnya. Selanjutnya, bagaimana kita membuktikan rumus Pascal tersebut? Berikut ini pembuktian rumus Pascal dengan pendekatan kombinasi.

Bukti Misalkan n dan r adalah bilangan bulat positif dengan rn dan S adalah himpunan yang memiliki n + 1 anggota, atau S = (x1, x2, x3, … , xn + 1}. Sehingga, himpunan S sama dengan gabungan dari {x1, x2, x3, … , xn} dan {xn + 1}. Selanjutnya, semua himpunan bagian dari S yang bilangan kardinalnya sama dengan r dapat dibagi menjadi dua kelompok: kelompok pertama merupakan himpunan bagian yang memuat xn + 1, dan kelompok yang lain merupakan himpunan bagian yang tidak memuat xn + 1.

Apabila suatu himpunan bagian dari S memuat xn – 1, maka himpunan bagian tersebut akan memuat r – 1 anggota dari {x1, x2, x3, … , xn}. Jika himpunan bagian dari S tidak memuat xn – 1, maka himpunan bagian tersebut akan memuat r anggota dari {x1, x2, x3, … , xn}.

Himpunan Bagian

Karena banyaknya himpunan bagian S yang berukuran r sama dengan kombinasi r dari n + 1, maka

Rumus Pascal (Terbukti)

Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

Misalkan a dan b adalah sembarang bilangan real, dan P(n) adalah pernyataan

P(n)

Tunjukkan bahwa P(0) benar: Untuk n = 0, teorema binomial menyatakan bahwa:

n = 0

Tetapi ruas kirinya adalah (a + b)0 = 1, dan ruas kanannya adalah

P(0) benar

Sehingga P(0) benar.

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat m ≥ 0, jika P(m) benar, maka P(m + 1) benar: Misalkan diberikan m bilangan bulat dengan m ≥ 0 dan P(m) benar. Sehingga,

Hipotesis Induktif

Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa P(m + 1) benar:

Akan Ditunjukkan

Sekarang, berdasarkan definisi pangkat (m + 1),

Definisi Pangkat m + 1

Sehingga dengan substitusi dari hipotesis induktif,

Substitusi Hipotesis Induktif

Selanjutnya, kita transformasikan penjumlahan kedua pada ruas kanan di atas dengan mengubah variabel j = k + 1. Ketika k = 0, maka j = 1. Ketika k = m, maka j = m + 1. Karena k = j – 1, maka

Transformasi Penjumlahan

Sehingga, penjumlahan kedua pada ruas kanan tersebut akan sama dengan,

Penjumlahan Kedua Ruas Kanan

Karena dalam penjumlahan tersebut j adalah variabel semu, maka kita dapat mengubah j menjadi k asalkan pengubahan tersebut untuk semua j yang muncul dalam penjumlahan tersebut.

Hasil Transformasi

Sehingga,

Manipulasi Persamaan

Berdasarkan rumus Pascal,

Berdasarkan Rumus Pascal

Sehingga,

Teorema Binomial (Terbukti)

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Matematika Diskrit, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Pembuktian Teorema Binomial dengan Induksi Matematika

  1. ariyanto berkata:

    Good

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s