Jarak Titik dan Garis

Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Peta Makassar dengan Koordinat Cartesius

Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus.

Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis

Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.

Menentukan Rumus Jarak

Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.

Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Nilai c

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah

Persamaan Garis yang Tegak Lurus

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x2,  terlebih dahulu.

Nilai x2

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y2).

Nilai y2

Setelah koordinat (x2, y2) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Rumus Jarak Dua Titik

Agar lebih sederhana, kita tentukan x2x1 dan y2y1 terlebih dahulu, yaitu

x2 - x1

dan,

y2 - y1

Sehingga jarak antara titik (x2, y2) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Menurunkan Rumus

Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut.

Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah
Rumus Jarak

Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.

Jarak Vihara

Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus

Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0.

Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.

Contoh Soal

Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Geometri, Kelas VIII, Kelas XI, Materi SMA, Materi SMP, Topik Matematika dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

5 Balasan ke Jarak Titik dan Garis

  1. Kay berkata:

    saya mau tanya, kenapa 5.71-8.76-280=~56,5
    dan 3(-2)-4(3)-7=25/5=5
    bagai mana cara mengerjakannya?

    tolong di balas…….

    Suka

  2. Resha berkata:

    Terimakasih banyak atas penjelasan yg detil! Mmebantu sekali 🙂

    Suka

  3. ela berkata:

    Makasih sudah sedikit mengerti

    Suka

  4. novan berkata:

    Ini aplikasi yg dipke untuk gmbar ap ya?

    Suka

  5. Blog dmathholic berkata:

    sangat membantu, terimakasih untuk tulisannya dan teruslah berkarya.
    mari bermatematika (y)

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s