Aturan L’Hôpital

Aturan L’Hôpital menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu, limit dari pembagian f(x)/g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan limit pembagian dari turunan-turunannya, yaitu

Pembagian Turunan

Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut.

TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUAS
Jika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,
Teorema Nilai Rata-rata

Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (a, b). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.

H(x)

Maka

H(a)

dan

H(b)

dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga

H'(c)

yang menyebabkan bahwa,

Terbukti

Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.

ATURAN L’HÔPITAL
Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) yang memuat c, kecual pada c itu sendiri. Anggap g(x) ≠ 0 untuk setiap x di (a, b), kecuali pada c itu sendiri. Jika limit dari f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk tidak tentu 0/0, maka
Aturan L'Hopital
apabila limit di ruas kanan ada (atau tak hingga). Hasil ini juga dapat diterapkan jika limit f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu ∞/∞, (–∞)/∞, ∞/(–∞), dan (–∞)/(–∞).

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, Aturan L’Hôpital tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas. Karena banyak kasus dalam aturan ini, maka pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan untuk satu kasus saja. Untuk kasus yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti Perhatikan satu kasus untuk,

Satu Kasus

Selanjutnya definisikan fungsi baru sebagai berikut.

F(x) dan G(x)

Untuk setiap x, c < x < b, F dan G memiliki turunan pada (c, b] dan kontinu pada [c, b]. Sehingga, Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa ada bilangan z di (c, x) sedemikian sehingga

Pembagian Turunan F dan G

Akhirnya, dengan memisalkan x mendekati c dari kanan, xc+, didapatkan zc+ karena c < z < x, dan

Terbukti 2

Catatan Kesalahan kadang-kadang dilakukan dengan menggunakan Aturan Turunan pada Pembagian f(x)/g(x) dalam menerapkan Aturan L’Hôpital ini. Pastikan bahwa aturan ini memuat f ’(x)/g’(x), bukan turunan dari f(x)/g(x). Selanjutnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Bentuk Tak Tentu 0/0

Tentukan nilai limit dari (e2x – 1)/x untuk x mendekati 0.

Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,

Bentuk Tak Tentu

sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Contoh Soal 1

Contoh 2: Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu Kali

Tentukan limit x2/ex untuk x mendekati negatif tak hingga.

Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.

Contoh Soal 2 I

Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.

Contoh Soal 2 II

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XI, Materi SMA, Topik Matematika dan tag , , , , , , , . Tandai permalink.

2 Balasan ke Aturan L’Hôpital

  1. Fujirawa.Yuki berkata:

    Reblogged this on Half-Personality Angel.

    Suka

  2. fauzi berkata:

    sulit dipahami konsep soal anda

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s