Aplikasi Integral: Menentukan Panjang Busur

Panjang suatu busur dapat ditentukan dengan menggunakan integral tentu. Suatu busur (ruas dari suatu kurva) dapat didekati dengan menggunakan ruas garis lurus yang panjangnya dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak,

Rumus Jarak

Misalkan fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang kontinu dan memiliki turunan pada interval [a, b]. Perlu diingat bahwa fungsi yang demikian memiliki f ’ yang memiliki turunan di [a, b] dan memiliki grafik berupa kurva halus. Grafik dari fungsi f tersebut dapat ditaksir dengan menggunakan ruas garis-ruas garis yang titik-titik ujungnya ditentukan oleh partisi

Partisi

seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Panjang Busur

Dengan memisalkan Δx = xixi – 1 dan Δy = yiyi – 1, panjang ruas dari suatu grafik dapat diperkirakan sebagai berikut.

Pendekatan Panjang Busur

Perkiraan tersebut akan semakin baik dan baik apabila ||Δ|| → 0 atau n → ∞. Sehingga, panjang ruas dari grafik tersebut adalah

Panjang Busur dengan Limit

Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi yang memiliki turunan pada interval [a, b], maka fungsi tersebut memiliki turunan di (xi – 1, xi). Sehingga Teorema Nilai Rata-rata menjamin adanya ci di (xi – 1, xi) sedemikian sehingga,

Teorema Nilai Rata-rata

Karena f ’ kontinu pada interval [a, b] maka √(1 + [f ’(ci)]2) juga kontinu (sehingga memiliki integral) pada [a, b], yang mengakibatkan

Rumus Panjang Busur

di mana s disebut panjang busur f antara a dan b.

DEFINISI PANJANG BUSUR
Misalkan fungsi y = f(x) memiliki kurva halus pada interval [a, b]. Panjang busur f antara a dan b adalah
Panjang Busur dx
Dengan cara yang sama, untuk kurva halus yang diberikan oleh x = g(y), panjang busur g antara c dan d adalah
Panjang Busur dy

Karena definisi dari panjang busur dapat diaplikasikan pada fungsi linear, maka definisi baru ini dapat diperiksa apakah definisi tersebut memenuhi rumus jarak ataukah tidak. Perhatikan contoh 1 berikut.

Contoh 1: Panjang dari Suatu Ruas Garis

Tentukan panjang busur dari (x1, y1) ke (x2, y2) pada grafik f(x) = mx + b, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Fungsi Linear

Pembahasan Karena

Gradien

maka hal ini akan menyebabkan

Contoh Soal 1

yang merupakan rumus untuk menentukan jarak antara dua titik pada bidang.

Contoh 2: Panjang dari Suatu Kabel

Suatu kabel listrik tergantung di antara dua tiang yang terpisah sejauh 200 meter, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Panjang Kabel

Kabel tersebut memiliki bentuk grafik yang persamaannya,

Fungsi Kabel

Tentukan panjang kabel di antara kedua tiang listrik tersebut.

Pembahasan Karena y’ = (1/2)(ex/150ex/150), maka akan menghasilkan

Kuadrat Turunan Pertama

dan

1 + Kuadrat

Sehingga, panjang kabel di antara dua tiang listrik tersebut adalah

Contoh Soal 2

Jadi, panjang kabel di antara kedua tiang listrik tersebut adalah 215 meter. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Topik Matematika dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Aplikasi Integral: Menentukan Panjang Busur

  1. Dewi Wulan Cahyati berkata:

    Kak mau tanya kalo ada soal kayak gini gimana ya caranya?? Berapakah panjang busur kurva dengan persamaan x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) yang berada di kuadran II..

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s