Keadaan Ketika Limit Tidak Ada

Pada pembahasan sebelumnya, telah dibahas mengenai konsep limit secara tidak formal, bagaimana menentukan nilai limit melalui pendekatan secara grafis maupun secara numerik. Pada pembahasan ini, kita akan membahas suatu keadaan ketika nilai limit suatu fungsi ketika mendekati x tertentu, tidak ada. Perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Perilaku yang Berbeda dari Kiri dan dari Kanan.

Tunjukkan bahwa limit fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut tidak ada pada x mendekati 0.

Fungsi 1

Pembahasan

Perhatikan gambar grafik dari fungsi f(x) = |x|/x di bawah.

Grafik Fungsi 1

Dari gambar di atas dan dari definisi nilai mutlak,

Fungsi 2

Kita dapat melihat bahwa,

Fungsi 3

Hal ini berarti bahwa bagaimanapun x dekat dengan 0, yaitu ketika nilai x positif atau negatif menyebabkan f(x) = 1 atau f(x) = –1. Secara spesifik, jika δ (delta) adalah bilangan positif, maka untuk nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 0 < |x| < δ, kita dapat menggolongkan nilai |x|/x sebagai berikut.

Kasus Nilai f(x)

Karena |x|/x mendekati bilangan yang berbeda dari sisi kanan dari 0 dengan apa yang didekati dari sisi kiri, maka nilai limit dari |x|/x dengan x mendekati 0 tidak ada.

Contoh 2: Perilaku Tidak Terbatas

Diskusikan keberadaan limit fungsi 1/x2 ketika x mendekati 0.

Pembahasan

Misalkan f(x) = 1/x2. Perhatikan gambar di bawah.

Grafik Fungsi 2

Pada gambar tersebut kita dapat melihat bahwa ketika x mendekati 0 dari kiri ataupun kanan, f(x) naik secara tak terbatas. Hal ini berarti bahwa dengan memilih x yang sangat dekat dengan 0, kita mendapatkan nila f(x) yang sangat besar. Sebagai contoh, f(x) akan lebih besar dari 100 jika kita memilih x di antara 1/10 dan 0. Jika dituliskan,

Fungsi 4

Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan nilai f(x) yang lebih besar dari 1.000.000 sebagai berikut.

Fungsi 5

Karena f(x) tidak mendekati bilangan real L ketika x mendekati 0, kita dapat menyimpulkan bahwa limitnya tidak ada.

Contoh 3: Perilaku Berfluktuasi

Diskusikan ada atau tidaknya limit sin (1/x) ketika x mendekati 0.

Pembahasan

Misalkan f(x) = sin (1/x). Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini.

Grafik Fungsi 3

Seperti yang terlihat pada gambar, ketika x mendekati 0, f(x) bergelombang/berfluktuasi antara -1 dan 1. Sehingga, limitnya tidak ada karena bagaimanapun kita memilih δ, kita dapat juga dapat memilih x1 dan x2 yang jaraknya dari 0 kurang dari δ, sedemikian sehingga sin (1/x1) = 1 dan sin (1/x2) = -1, seperti yang diperlihatkan oleh tabel berikut.

Tabel

Dari ketiga contoh di atas dapat diperoleh kesimpulan bahwa perilaku fungsi yang menyebabkan nilai limitnya tidak ada pada x tertentu adalah sebagai berikut:

  • f(x) mendekati nilai yang berbeda dari sebelah kiri c dengan sebelah kanan c.
  • f(x) naik atau turun tak terbatas ketika x mendekati c.
  • f(x) berfluktuasi di antara dua nilai ketika x mendekati c.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Topik Matematika dan tag , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s