Peluang: Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A, B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA, AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata sebagai berikut: A1BA2, A2BA1, A1A2B, A2A1B, BA1A2, dan BA2A1.

Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A1A2 yang seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.

Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut.

  1. Banyaknya permutasi dari n objek dengan x objek sama (xn) adalah
    Permutasi x Objek Sama
  2. Banyaknya permutasi yang terdiri dari n objek yang dipilih dari n objek di mana ada beberapa objek sama, misalnya ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang sama, serta m3 objek yang sama, dan seterusnya adalah
    Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

Untuk lebih memahami mengenai permutasi dengan beberapa objek yang sama, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Berapa banyak cara dapat dibentuk dari huruf-huruf:

  1. AKSARA,
  2. CACAH, dan
  3. MATEMATIKA, dengan syarat huruf pertama dan terakhirnya secara berturut-turut M dan K.

Pembahasan Contoh Soal

  1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu jenis huruf yang sama, yaitu A, yang berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120 cara.
  2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5 huruf dengan dua jenis huruf yang sama, yaitu C dan A, yang masing-masing berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!) = 30 cara.
  3. Perhatikan gambar berikut.
    MATEMATIKA
    Setelah huruf-huruf M dan K digunakan di awal dan akhir susunan kata, maka huruf yang tersisa adalah ATEMATIA. Sisa huruf ini terdiri dari 8 huruf dengan 2 jenis huruf yang sama, yaitu A dan T, yang banyaknya secara berturut-turut adalah 3 dan 2. Sehingga banyaknya permutasi yang mungkin adalah 8!/(3! × 2!) = 3.360 cara.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kelas XI, Matematika Diskrit, Materi SMA, Perangkat Pembelajaran, Topik Matematika dan tag , . Tandai permalink.

2 Balasan ke Peluang: Permutasi dengan Beberapa Objek Sama

  1. pratiwi berkata:

    banyak susunan huruf yang dapat disusun dari kata BERAPA adalah

    Suka

  2. anak ganteng berkata:

    thank

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s