Peluang: Permutasi

Misalkan diberikan suatu himpunan {a, b, c}. Dari anggota-anggota himpunan-himpunan tersebut dapat disusun kata sebagai berikut: abc, acb, bac, bca, cab, dan cba. Susunan ketiga anggota himpunan itu disebut permutasi dari a, b, dan c. (Perhatikan bahwa masing-masing susunan mempunyai urutan yang berbeda dari a, b, dan c).

Dari himpunan tersebut dapat juga dibentuk susunan-susunan yang masing-masing terdiri dari dua unsur yang berbeda dengan urutan: ab, ba, ac, ca, bc, dan cb. Susunan kedua anggota himpunan itu masing-masing disebut permutasi dari a, b, dan c.

Secara umum dapat dikatakan bahwa,

Permutasi dari sekumpulan objek adalah susunan yang berbeda dari objek-objek itu dengan memperhatikan urutannya.

Permutasi pada contoh pertama disebut permutasi tiga-tiga dari 3 objek dilambangkan dengan 3P3, sedangkan permutasi pada contoh kedua disebut permutasi dua-dua dari 3 objek dilambangkan dengan 3P2. Banyaknya permutasi dari n objek yang disusun r objek, dinotasikan dengan nPr, dapat dirumuskan sebagai berikut.

Rumus Permutasi

Untuk membuktikan rumus tersebut, perhatikan uraian berikut ini.

Permutasi dapat diartikan dengan susunan berbeda (tanpa pengulangan) yang dapat dibentuk dari n objek yang disediakan, untuk mengisi r kotak. Untuk tempat pertama dalam permutasi itu dapat diambil setiap objek dari n objek yang ada, jadi ada n cara. Tempat kedua dapat ditempati setiap objek kecuali satu unsur yang telah dipakai untuk tempat pertama, jadi ada (n – 1) cara. Untuk tempat ketiga terdapat (n – 2) cara, tempat keempat ada (n – 3) cara, dan seterusnya. Sehingga untuk tempat ke-r terdapat (n – r +1) cara. Menurut prinsip perkalian, akan terdapat n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1) cara. Jadi, nPr = n(n – 1)(n – 2) … (nr + 1) atau

Bukti Rumus Permutasi

Untuk n = r diperoleh,

Untuk n = r

Untuk mengetaui bagaimana permutasi digunakan dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Terdapat 3 anak laki-laki dan 4 orang anak perempuan.

  1. Dengan berapa cara mereka dapat duduk berdampingan?
  2. Dengan berapa cara mereka dapat duduk berdampingan, jika anak laki-laki dan perempuan masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang anak laki-laki dan perempuan yang berdampingan?

Pembahasan Contoh Soal

Berikut ini pembahasan dari masing-masing soal di atas.

  1. Banyaknya cara mereka agar dapat duduk berdampingan dapat dicari dengan menggunakan permutasi, yaitu 7P7 = 7! = 5.040. Mengapa kita menggunakan 7P7? Perhatikan bahwa bahwa terdapat 4 anak laki-laki dan 3 anak perempuan, sehingga totalnya ada (4 + 3), yaitu 7 anak yang akan disusun untuk duduk berdampingan. Tentunya terdapat 7 kursi untuk membuat mereka duduk saling berdampingan. Terdapat 7 objek akan disusun pada 7 tempat, hal ini sama dengan 7P7.
  2. Untuk membantu dalam memahami soal poin (b), perhatikan gambar berikut.
    3 Laki-laki - 4 Perempuan
    Seperti yang diilustrasikan pada gambar, agar 3 anak laki dapat selalu duduk mengelompok, kita dapat membendel 3 anak tersebut menjadi satu. Demikian juga dengan 4 anak perempuan. Sehingga kita akan menyusun 2 bendel pada 2 tempat yang disediakan, 2P2. Bendel pertama terdiri dari 3 anak laki-laki. Tiga anak laki-laki ini disusun pada 3 tempat, 3P3. Bendel kedua terdiri dari 4 anak perempuan. Empat anak perempuan ini disusun pada 4 tempat, 4P4. Sehingga, banyaknya cara menyususun 3 anak laki-laki dan 4 anak perempuan agar anak laki-laki dan perempuan saling mengelompok adalah
    Contoh Soal 2
    Jadi, terdapat 288 cara penyusunan yang memenuhi syarat poin (b).

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kelas XI, Matematika Diskrit, Materi SMA, Perangkat Pembelajaran, Topik Matematika dan tag , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s