Teorema Stewart dan Pembuktiannya

Teorema Stewart menyatakan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi di hadapannya (atau disebut cevian). Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga serta d adalah panjang cevian yang memotong sisi a. Apabila cevian  tersebut membagi a menjadi dua ruas garis yang panjangnya m dan n, maka teorema Stewart menyatakan bahwa:

b2n + c2m = a(d2 + mn)

Pembuktian teorema ini dapat dijelaskan dengan menggunakan dua jalan, yang pertama menggunakan aturan cosinus dan yang kedua menggunakan teorema Pythagoras. Pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan menggunakan aturan cosinus.

Pembuktian dengan Menggunakan Aturan Cosinus

Teorema Stewart dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan cosinus. Misalkan β adalah sudut antara d dan n. Sedangkan α merupakan pelurus dari β, sehingga cos α = cos (180 – β) = –cos β.

Teorema Stewart (Aturan Cosinus)

Sesuai dengan aturan cosinus pada sudut α dan β, didapatkan:

c2 = d2 + n2 – 2dn ∙ cos β
b2 = d2 + m2 – 2dm ∙ cos α = d2 + m2 + 2dm ∙ cos β

Kalikan persamaan pertama dengan m, dan persamaan kedua dengan n, kemudian jumlahkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi cos β, diperoleh persamaan berikut:

c2m + b2n = d2m + d2n + mn2 +m2n = mn2 + m2n + (m + n)d2,

Dengan menggunakan teknik penyederhanaan aljabar, diperoleh:

mn2 + m2n + (m + n)d2 = mn(n + m) + (m + n)d2 = (m + n)(mn + d2)

Karena m + n = a, maka

(m + n)(mn + d2) = a(mn + d2)

Jadi, c2m + b2n = a(mn + d2) atau b2n + c2m = a(d2 + mn). Terbukti. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Geometri, Perangkat Pembelajaran, Topik Matematika dan tag , , , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s