Jumlah Riemann

Diberikan sebarang fungsi kontinu y = f(x) pada selang [a, b] (Gambar 1), kemudian selang tersebut dipartisi menjadi n bagian dengan memilih n – 1 titik, yaitu x1, x2, . . . , xn – 1, di antara a dan b, yang memenuhi kondisi berikut,

a < x1 < x2 < . . . < xn – 1 < b.

Jumlah Riemann

Gambar 1

Biasanya, a dan b secara berturut-turut dinotasikan dengan x0 dan xn. Himpunan

P = {x0, x1, . . . , xn}

disebut partisi dari [a, b]. Partisi P tersebut mendefinisikan n bagian selang (subinterval) yang tertutup, yaitu

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn – 1, xn].

Subinterval tertutup [xk – 1, xk] disebut subinterval ke-k dari P.

Panjang dari subinterval ke-k adalah Δxk = xk – xk – 1.

Pada masing-masing subinterval dikontruksi segiempat yang beralaskan di sumbu x dengan ketinggian y = f(x). Ketinggian segiempat tersebut sebarang, asalkan puncak dari segiempat tersebut memotong kurva pada titik (ck, f(ck)) di mana xk – 1 ≤ ck ≤ xk. Perhatikan Gambar 1 lagi.

Jika f(ck) positif, maka f(ck)Δx = alas x tinggi adalah luas dari segiempat. Jika f(ck) negatif, maka f(ck)Δx adalah negatif dari luas segiempat. Untuk semua kasus/keadaan, jumlah dari f(ck)Δx, dengan k = 1 sampai k = n, yang disimbolkan,

Penjumlahan tersebut, yang tergantung pada P dan pemilihan ck, disebut jumlah Riemann dari f pada interval [a, b], yang dinamai oleh matematikawan Jerman Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866).

Apabila selang [a, b] dibagi menjadi subinterval yang semakin banyak, maka jumlah dari luas segiempat akan mendekati luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada selang [a, b]. Sehingga jumlah Riemann tersebut memiliki nilai limit. Perhatikan definisi berikut.

Norm dari partisi P adalah suatu subinteral terpanjang dari partisi P. Norm dinotasikan sebagai,

|| P || (dibaca norm dari P)

Apabila || P || mendekati nol, maka jumlah dari luas segiempat mendekati luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada selang [a, b].

Jumlah Riemann

Integral tertentu fungsi f dari a ke b merupakan jumlah Riemann fungsi f pada selang [a, b] dengan || P || mendekati nol. Atau jika disimbolkan,

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Iklan

Tentang Yosep Dwi Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Pos ini dipublikasikan di Kalkulus, Kelas XII, Topik Matematika dan tag , . Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s