Permasalahan Garis Singgung

Pada lingkaran, seperti kita ketahui, garis singgung adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik dan tegak lurus terhadap jari-jari pada titik perpotongan tersebut. Bagaimana dengan garis singgung pada suatu kurva?

Garis Singgung Lingkaran & Kurva

Untuk sembarang kurva, mendefinisikan garis singgung merupakan pekerjaan yang agak sulit. Sebagai contoh, bagaimana kita mendefinisikan garis singgung seperti yang ditunjukkan oleh gambar di atas? Kita mungkin mengatakan bahwa garis singgung kurva di titik P merupakan suatu garis yang menyinggung, tetapi tidak memotong, kurva di titik P. Definisi ini tepat untuk gambar ke-2, tetapi tidak tepat untuk gambar ke-3. Atau mungkin kita mengatakan bahwa garis singgung merupakan garis yang memotong kurva tepat di satu titik. Definisi ini tepat untuk garis singgung lingkaran, tetapi tidak tepat untuk sembarang kurva, misalkan kurva pada gambar ke-4 di atas.

Pada dasarnya, permasalahan dalam menentukan garis singgung di titik P merupakan permasalahan untuk menemukan gradien dari garis singgung tersebut di titik P. Kita dapat mendekati nilai gradien ini dengan menggunakan garis potong kurva yang melalui titik singgung dan satu titik lain pada kurva, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pendekatan Gradien

Jika (c, f(c)) adalah titik singgung dan (c + Δx, f(c + Δx)) adalah titik lain pada grafik f, maka gradien garis potong yang melalui dua titik dapat ditentukan oleh persamaan berikut.

Persamaan Gradien

Dengan menggunakan prosedur ini kita dapat mendekati gradien titik singgung yang mendekati nilai sebenarnya apabila kita memilih titik yang semakin dekat dengan titik singgung. Hal ini dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pendekatan Gradien 2

Dari pembahasan di atas, gradien garis singgung kurva dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi Gradien Garis Singgung dengan Gradien m
Jika f terdefinisi pada selang buka yang memuat c, dan jika limit
Gradien Garis Singgung
ada, maka garis yang melalui (c, f(c)) dengan gradien m adalah garis singgung grafik f pada titik (c, f(c)).

Gradien garis singgung dari grafik f di titik (c, f(c)) juga disebut gradien grafik f di titik (c, f(c)).

Contoh 1: Gradien Grafik Fungsi Linear

Tentukan gradien grafik fungsi f(x) = 2x – 1 pada titik (2, 3)!

Pembahasan

Untuk menentukan grafik fungsi f ketika c = 2, kita dapat menggunakan definisi gradien garis singgung, seperti berikut.

Contoh 1

Gradien f pada (c, f(c)) = (2, 3) adalah m = 2, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Grafik 2x - 1

Grafik fungsi linear memiliki gradien yang sama pada setiap titik. Akan tetapi hal ini tidak berlaku untuk fungsi non-linear, seperti yang ditunjukkan oleh contoh selanjutnya.

Contoh 2: Gradien Grafik Fungsi Non-Linear

Tentukan gradien garis singgung grafik f(x) = –x2 + 3 pada titik-titik (0, 3) dan (–1, 2), seperti yang ditunjukkan gambar berikut.

Grafik -x2 + 3

Pembahasan

Misalkan (c, f(c)) adalah sembarang titik pada grafik fungsi f. Maka gradien garis singgung pada titik (c, f(c)) dapat ditentukan sebagai berikut.

Contoh 2

Jadi, gradien grafik f pada sembarang titik (c, f(c)) adalah m = –2c. Pada titik (0,3), gradiennya adalah m = –2(0) = 0, dan pada titik (–1, 2), gradiennya adalah m = –2(–1) = 2. Semoga bermanfaat, yos3prens.

About these ads

Tentang Yosep Kristanto

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Tulisan ini dipublikasikan di Kalkulus, Perguruan Tinggi dan tag , , , , , , . Tandai permalink.

Satu Balasan ke Permasalahan Garis Singgung

  1. Dav berkata:

    Artikel bagus dan rapi serta jelas

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s