Definisi Formal Limit

Mari kita tinjau sisi lain dari definisi informal limit. Jika f(x) mendekati suatu nilai L ketika x mendekati c dari kiri ataupun kanan, maka limit f(x) dengan x mendekati c adalah L, atau dapat dituliskan

Definisi Limit

Sekilas, definisi tersebut terlihat masih menerawang. Definisi informal tersebut tidak menjelaskan arti sebenarnya dari 2 frasa: “f(x) mendekati suatu nilai L” dan “x mendekati c.”

Orang pertama yang mendefiniskan limit secara matematis adalah Augustin-Louis Cauchy. Definisi limit ε-δ-nya telah digunakan sebagai standard sampai sekarang. Perhatikan gambar di bawah ini!

Definisi Formal Limit

Pada gambar di atas, misalkan ε (epsilon) merepresentasikan bilangan positif yang kecil, maka frasa, “f(x) mendekati suatu nilai L” berarti bahwa f(x) terletak di antara interval (L – ε, L + ε). Dengan menggunakan nilai mutlak, kita dapat menuliskan pernyataan tersebut sebagai |f(x) – L| < ε.

Dengan cara yang sama, frasa “x mendekati c” berarti bahwa ada bilangan positif δ sedemikian sehingga x terletak dalam interval (c – δ, c) atau interval (c, c + δ). Pernyataan ini secara singkat dapat ditulis menjadi 2 pertidaksamaan, 0 < |xc| < δ. Pertidaksamaan yang pertama, 0 < |xc| (dibaca: jarak antara x dan c lebih besar dari 0), menyatakan bahwa x ≠ c. Pertidaksamaan yang kedua, |xc| < δ, menyatakan bahwa x berjarak kurang dari δ satuan dari c.

Definisi Limit
Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat c (kemungkinan bisa hanya di kanan-kiri c) dan misalkan L adalah sebarang bilangan real. Pernyataan,
Definisi Formal Limit 2
berarti bahwa untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x – c| < δ, maka |f(x) – L| < ε.

Beberapa fungsi tidak memiliki limit ketika x mendekati c. Akan tetapi jika suatu fungsi memiliki nilai limit, maka fungsi tersebut tidak dapat memiliki 2 nilai limit yang berbeda. Dengan kata lain, jika limit suatu fungsi ada, maka nilai tersebut haruslah unik.

Contoh-contoh berikut ini akan membantu kita untuk mengembangkan pemahaman kita mengenai definisi limit ε-δ.

Contoh 1: Menemukan δ Jika Diberikan ε

Diberikan bahwa nilai limit 2x – 5 ketika x mendekati 3 adalah 1. Tentukan δ sedemikian sehingga |(2x – 5) – 1| < 0,01 ketika 0 < |x – 3| < δ.

Pembahasan

Pada permasalah ini kita diberikan nilai ε, yaitu ε = 0,01. Untuk menentukan nilai δ, perhatikan bahwa |(2x – 5) – 1| = |2x – 6| = 2|x – 3|. Karena pertidaksamaan |(2x – 5) – 1| < 0,01 setara dengan 2|x – 3| < 0,01, maka kita dapat memilih δ = 1/2 ∙ 0,01 = 0,005. Mengapa kita harus memilih nilai δ yang demikian?

Perhatikan bahwa 0 < |x – 3| < 0,005 menyebabkan |(2x – 5) – 1| = 2|x – 3| < 2(0,005) = 0,01, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Fungsi 2x-5

Pada contoh 1, yang kita lakukan adalah menentukan nilai δ jika diberikan ε. Yang kita lakukan itu tidak membuktikan keberadaan limit. Untuk membuktikannya, kita harus dapat menentukan nilai δ untuk sembarang ε, seperti yang ditunjukkan oleh contoh selanjutnya.

Contoh 2: Menggunakan Definisi Limit ε-δ

Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit 3x – 2 untuk x mendekati 2 adalah 4.

Pembahasan

Kita harus dapat menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |(3x – 2) – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ. Karena δ nantinya bergantung pada ε, kita harus menentukan hubungan antara nilai mutlak |(3x – 2) – 4| dengan |x – 2|.

|(3x – 2) – 4| = |3x – 6| = 3|x – 2|

Sehingga, jika diberikan ε > 0 kita dapat memilih δ = ε/3. Pilihan kita ini tepat karena, 0 < |x – 2| < δ = ε/3 akan menyebabkan |(3x – 2) – 4| = 3|x – 2| < 3 ∙ ε/3 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Fungsi 3x - 2

Contoh 3: Menggunakan Definisi Limit ε-δ

Gunakan definisi ε-δ untuk membuktikan bahwa limit x2 untuk x mendekati 2 adalah 4.

Pembahasan

Kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap ε > 0, ada δ > 0 sedemikian sehingga |x2 – 4| < ε ketika 0 < |x – 2| < δ.

Untuk menentukan δ yang memenuhi, pertama-tama kita tulis |x2 – 4| = |x – 2||x + 2|. Untuk setiap x dalam (1, 3), x + 2 < 5 sehingga |x + 2| < 5. Jadi, kita pilih δ sebagai nilai minimum antara ε/5 dan 1, sehingga ketika 0 < |x – 2| < δ, kita memperoleh |x2 – 4| = |x – 2||x + 2| < (ε/5) ∙ 5 = ε, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Fungsi x Kuadrat

Dari contoh-contoh di atas kita menggunakan definisi limit ε-δ untuk membuktikan nilai limit tertentu dan untuk menentukan ada tidaknya nilai limit. Untuk menentukan nilai limit, akan digunakan suatu teknik yang lebih mudah daripada menggunakan definisi limit ε-δ. Semoga bermanfaat, yos3prens.

About these ads

Tentang yos3prens

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Tulisan ini dipublikasikan di Kalkulus, Perguruan Tinggi dan tag , , , . Tandai permalink.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s