Aturan Cosinus

Masih ingatkah kamu mengenai teorema Pythagoras? Teorema Pythagoras merupakan suatu rumus yang sangat penting dalam geometri. Kita dapat menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kita juga dapat menurunkan persamaan lingkaran dengan menggunan teorema tersebut.

Teorema Pythagoras memang sangat sering digunakan. Akan tetapi penggunaan tersebut dibatasi hanya pada permasalahan yang melibatkan segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras tidak berlaku untuk segitiga lancip ataupun segitiga tumpul. Mengapa demikian?

Segitiga Lancip dan Tumpul

Apabila sisi siku-siku dari segitiga siku-siku dibuat lebih dekat (sudut yang diapitnya semakin kecil) maka sudut siku-sikunya akan menjadi sudut lancip, dan diperoleh c2 < a2 + b2. Untuk membuat pertidaksamaan ini menjadi suatu persamaan, kita perlu mengurangi a2 + b2 dengan nilai tertentu.

c2 = a2 + b2 – nilai tertentu

Sebaliknya, apabila sisi siku-sikunya dibuat lebih jauh (sudut yang diapitnya semakin besar) maka sudut siku-sikunya akan menjadi sudut tumpul, dan diperoleh c2 > a2 + b2. Berikut ini persamaan yang terjadi apabila kita menambahkan nilai tertentu pada a2 + b2.

c2 = a2 + b2 + nilai tertentu

Nilai tertentu tersebut tak lain adalah 2ab ∙ cos C. Rumus hasil modifikasi dari teorema Pythagoras ini disebut aturan cosinus.

Aturan Cosinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta C adalah sudut di hadapan sisi yang panjangnya c,
c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ cos C

Karena nilai cos dari sudut tumpul adalah negatif, maka nilai dari 2ab ∙ cos C juga bernilai negatif. Sehingga pengurangan oleh 2ab ∙ cos C akan sama dengan penjumlahan oleh nilai positif.

Menemukan Aturan Cosinus

Untuk menurunkan aturan cosinus pada segitiga lancip, perhatikan segitiga ABC dengan AD sebagai garis tinggi, yang ditunjukkan oleh gambar di atas. Kita dapat menyebut panjang sisi-sisi di depan sudut A, B, dan C secara berturut-turut adalah a, b, dan c, tingginya adalah t, serta panjang sisi CD sebagai x. Panjang dari sisi BD merupakan hasil pengurangan panjang sisi BC oleh CD, yaitu ax.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat menulis dua persamaan. Dengan aljabar, kita dapat menjabarkan bentuk (ax)2.

Persamaan 1 dan 2

Perhatikan kedua persamaan tersebut memuat x2 + t2, yang kita tahu sama dengan b2 dari persamaan 1. Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2.

Persamaan 3

Sekarang yang kita butuhkan adalah mengganti x dengan bentuk yang memuat cos C. Dengan menggunakan segitiga ACD, kita dapat menulis persamaan berikut dan menuliskan x dalam bentuk cos C.

Persamaan 4

Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3, sehingga diperoleh rumus aturan cosinus.

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Walaupun penurunan aturan cosinus ini dilakukan pada segitiga lancip, aturan ini juga berlaku pada segitiga tumpul. Kita dapat menggunakan aturan cosinus apabila diketahui panjang 3 sisi segitiga atau panjang dua sisi segitiga dan besar sudut yang diapitnya (ss.ss.ss atau ss.sd.ss). Untuk lebih memahami mengenai aturan cosinus, silahkan latihan soalnya pada arsip soal. Semoga bermanfaat, yos3prens.

About these ads

Tentang yos3prens

Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Tulisan ini dipublikasikan di Kelas X, Materi SMA, Perangkat Pembelajaran dan tag , , , , , . Tandai permalink.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s