Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

10 Soal dan Pembahasan Permasalahan Barisan dan Deret Geometri

Barisan maupun deret geometri sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang sering kita jumpai di sekitar kita. Beberapa permasalahan yang sering menggunakan konsep barisan dan deret geometri adalah permasalahan pada ayunan bandul, depresiasi, penuaan peralatan, laju pertumbuhan populasi, dan lain sebagainya.

Soal 1: Menyelesaikan Penerapan Barisan Geometri: Bandul

Bandul adalah sembarang obyek yang digantungkan pada suatu titik tertentu dan dibiarkan untuk mengayun dengan bebas di bawah pengaruh dari gaya gravitasi. Misalkan ayunan suatu bandul masing-masing panjangnya 0,8 dari ayunan sebelumnya. Lama kelamaan, ayunan bandul tersebut akan semakin pendek dan akan berhenti (walaupun secara teoritis tidak akan pernah berhenti)

  1. Seberapa panjangkah ayunan ke-6 dari bandul tersebut, apabila panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm?
  2. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui oleh bandul tersebut sampai ayunan yang ke-6?
  3. Butuh sampai berapa ayunankah agar panjang dari masing-masing ayunan bandul tersebut kurang dari 14 cm?
  4. Berapakah panjang lintasan total yang telah dilalui bandul tersebut sampai bandul tersebut berhenti berayun?

Pembahasan Karena panjang masing-masing ayunan sama dengan 0,8 panjang ayunan sebelumnya, maka kita dapat menyimpulkan bahwa panjang ayunan bandul tersebut membentuk barisan geometri.

  1. Karena panjang ayunan pertamanya adalah 125 cm, maka kita peroleh a1 = 125 dan rasionya r = 0,8. Sehingga beberapa suku pertama dari barisan tersebut adalah 125, 100, 80, dan seterusnya. Untuk suku ke-6, kita dapat menentukannya dengan menggunakan rumus:
    Soal 1 (1)
    Jadi, bandul tersebut mengayun sejauh 40,96 cm pada ayunannya yang ke-6.
  2. Untuk menentukan panjang lintasan total sampai ayunan ke-6, kita hitung S6.
    Soal 1 (2)
    Sehingga, bandul tersebut telah menempuh 461,16 cm sampai ayunan ke-16.
  3. Untuk menentukan banyaknya ayunan ketika masing-masing ayunan panjangnya kurang dari 14 cm, kita selesaikan n pada persamaan 14 = 125(0,8)n – 1.
    Soal 1 (3)
    Jadi, setelah ayunan ke 10 (atau mulai ayunan ke-11), panjang dari lintasan bandul akan kurang dari 14 cm.
  4. Panjang lintasan total sebelum bandul berhenti berayun sama dengan jumlah deret geometri tak hingga dengan a1 = 125 dan r = 0,8.
    Soal 1 (4)
    Sehingga, panjang lintasan yang telah ditempuh oleh bandul sebelum berhenti berayun adalah 625 cm.

Soal 2: Bermain Ayunan

Rhisky sedang bermain ayunan di halaman belakang rumahnya. Dia mengayunkan ayunan tersebut dengan menggunakan tangan dan tubuhnya agar ayunan tersebut berayun sampai ketinggian maksimum, kemudian membiarkannya sampai ayunan yang dia tumpangi berhenti dengan sendirinya. Dalam setiap ayunan, Rhisky menempuh 75% dari panjang ayunan sebelumnya. Jika panjang busur pertama (atau ayunan pertama) 2 meter, tentukan panjang busur yang ditempuh Rhisky pada ayunan ke-8. Berapa meterkah total panjang busur yang ditempuh Rhisky sebelum dia berhenti berayun?

Pembahasan Diketahui panjang busur pertama yang ditempuh Rhisky adalah 2 meter, sehingga kita peroleh a1 = 2. Sedangkan dalam setiap ayunannya dia menempuh 75% dari panjang lintasan sebelumnya. Sehingga r = 75% = 0,75. Untuk menentukan panjang ayunan ke-8, kita tentukan a8 dari barisan tersebut.

Soal 2 a8

Sehingga, panjang ayunan Rhisky yang ke-8 adalah 0,27 meter atau 27 cm. Selanjutnya kita tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh Rhisky sebelum dia berhenti berayun. Untuk menentukan panjang lintasan ini, kita cari jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

Soal 2 S

Jadi panjang lintasan yang telah ditempuh oleh Rhisky sampai dia berhenti berayun adalah 8 meter.

Soal 3: Permasalahan Depresiasi

Suatu mobil SUV baru mengalami depresiasi nilai jual sebesar 15% tiap tahunnya (hal ini berarti harga jualnya menjadi 85% dari harga jual tahun sebelumnya). Jika harga beli dari mobil SUV baru tersebut adalah 510 juta rupiah, berapakah harga jual dari SUV tersebut setelah 5 tahun? Berapa tahunkah sampai harga SUV tersebut kurang dari 100 juta rupiah?

Pembahasan Harga jual suatu SUV sama dengan 85% dari harga tahun sebelumnya, sehingga kita peroleh r = 85% = 0,85. Harga beli mobil SUV baru tersebut adalah 510 juta rupiah, atau dengan kata lain a0 = 510 (dalam juta). Akibatnya, harga jual pada tahun pertama a1 = 510 ∙ 0,85 = 433,5. Sehingga dalam menentukan harga jual SUV tersebut setelah 5 tahun, kita akan tentukan a5.

Soal 3 a5

Kita peroleh bahwa harga jual SUV tersebut setelah 5 tahun adalah 226,29 juta rupiah. Selanjutnya kita tentukan sampai tahun ke berapa ketika harga SUV tersebut kurang dari 100 juta rupiah. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menentukan nilai n dari persamaan

Soal 3 n

Jadi, setelah tahun ke-10 (atau mulai tahun ke-11) harga SUV tersebut akan kurang dari 100 juta rupiah.

Dipublikasi di Kelas IX, Kelas XII, Materi SMA, Materi SMP | Tag , , , , , , | Tinggalkan komentar

Deret Geometri

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: an = a1rn – 1, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,

Sn

Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya dengan deret aslinya, kita mendapatkan

Sn - rSn

Sehingga kita memperoleh SnrSn = a1a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut untuk Sn, kita mendapatkan

Menentukan Sn

Hasil di atas merupakan rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri.

Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri
Diberikan suatu barisan geometri dengan suku pertama a1 dan rasio r, jumlah n suku pertamanya adalah
Rumus Sn
Atau bisa dikatakan: Jumlah dari barisan geometri sama dengan selisih dari suku pertama dan suku n + 1, kemudian dibagi dengan 1 dikurangi rasionya.

Contoh 1: Menghitung Deret Geometri

Hitunglah jumlah 9 suku pertama dari barisan an = 3n.

Pembahasan Jumlah 9 suku pertama dapat juga dinotasikan ke dalam notasi sigma sebagai berikut.

Contoh 1 Sigma

Dari deret tersebut kita dapat memperoleh suku pertama a1 = 3, rasio r = 3, dan banyaknya suku n = 9. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama, kita mendapatkan

Contoh 1 S9

Jadi, jumlah sembilan suku pertama dari barisan an = 3n adalah 29.523.

Dipublikasi di Kelas IX, Kelas XII, Materi SMA, Materi SMP | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

Barisan Geometri

Pada pembahasan ini kita akan mendiskusikan suatu barisan yang disebut barisan geometri. Pada barisan ini, setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu. Barisan ini memiliki banyak sekali kegunaannya, begitupun juga dengan deret geometri yang akan didiskusikan pada pembahasan yang terpisah.

Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan barisan yang masing-masing sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta tertentu. Salah satu contoh barisan geometri ada pada pertumbuhan populasi bakteri, di mana setiap satu sel bakteri tersebut akan membelah diri setiap satu jam dalam rentang waktu 24 jam. Diawali dengan 1 bakteri (a0 = 1), setelah satu jam bakteri tersebut akan membelah diri menjadi 2, menjadi 4 setelah dua jam, dan demikian seterusnya. Banyaknya bakteri tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk barisan sebagai berikut.

Barisan Bakteri

Barisan 2, 4, 8, 16, 32, … merupakan barisan geometri karena masing-masing suku dari barisan tersebut diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan konstanta 2. Atau dengan kata lain rasio dari dua suku berurutannya adalah 2, sehingga 2 disebut sebagai rasio dari barisan tersebut. Dengan menggunakan notasi-notasi pada barisan, kita dapat menuliskan rasio, r = ak + 1/ak, dengan ak merupakan sembarang suku dari suatu barisan dan ak + 1 adalah suku selanjutnya dari ak.

Contoh 1: Menguji Suatu Barisan

Tentukan apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri atau bukan.

  1. 1; 0,5; 0,25; 0,125; …
  2. 1/8, 1/4, 3/4, 3, 15, …

Pembahasan Kita gunakan definisi untuk menentukan rasionya r = ak + 1/ak.

  1. Untuk barisan 1; 0,5; 0,25; 0,125; … rasio dari dua suku berurutannya adalah
    Contoh 1 (1)
    Sehingga barisan tersebut merupakan barisan geometri dengan rasio r = 0,5.
  2. Untuk barisan 1/8, 1/4, 3/4, 3, 15, … kita memperoleh bahwa
    Contoh 1 (2)
    Karena rasionya bukan suatu konstanta, maka barisan tersebut bukan merupakan barisan geometri.

Contoh 2: Menuliskan Suku-suku dari Suatu Barisan Geometri

Tuliskan 5 suku pertama dari barisan geometri dengan a1 = –32 dan rasio r = 0,25.

Pembahasan Diberikan a1 = –32 dan r = 0,25. Dimulai dari a1 = –32, kita akan mengalikan a1 tersebut dengan r = 0,25 untuk memperoleh suku-suku selanjutnya.

Contoh 2

Sehingga, 5 suku pertama dari barisan tersebut adalah –32; –8; –2; –0,5; dan –0,125.

Dipublikasi di Kelas IX, Kelas XII, Materi SMA, Materi SMP | Tag , , | Tinggalkan komentar

Try Out UN SMP/MTs Matematika 2014

Bagi adik-adik kelas IX SMP tentunya ingin lulus dengan nilai yang maksimal dalam Ujian Nasional (UN) tahun 2014 ini. Oleh karena itu, sebelum pelaksanaan UN tersebut sebaiknya adik-adik mempersiapkan diri semaksimal mungkin dengan belajar dengan tekun. Selain itu, adik-adik juga perlu untuk menguji kesiapan adik-adik dalam menghadapi tes sebenarnya. Sehingga, kami menyediakan try out online sebagai persiapan untuk menghadapi UN tersebut. Soal-soal dalam try out ini terdiri dari materi:

  • Bilangan
  • Aljabar dan Penerapannya
  • Himpunan
  • Garis dan Sudut
  • Segitiga dan Segiempat
  • Faktorisasi Aljabar
  • Fungsi
  • Persamaan Garis Lurus
  • Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
  • Teorema Pythagoras dan Garis-garis pada Segitiga
  • Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
  • Bangun Ruang Sisi Datar
  • Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • Statistika
  • Peluang

Untuk memulai tes, silahkan kunjungi http://goo.gl/8a95j1 atau klik gambar di bawah ini.

Mulai TesKami berharap tes online ini dapat benar-benar dapat menjadi patokan adik-adik dalam mengukur kesiapan adik-adik dalam persiapan menghadapi UN. Dan akhirnya, selamat berlatih!

Dipublikasi di Kelas IX, Materi SMP, Media Pembelajaran | Tag , , , , , | 2 Komentar

Relasi Rekursif Homogen Linear Berderajat Dua dengan Koefisien Konstanta

Pada pembahasan sebelumnya kita telah mendiskusikan bagaimana menentukan rumus eksplisit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif dengan menggunakan iterasi. Metode ini merupakan teknik dasar yang tidak membutuhkan teknik khusus kecuali kemampuan untuk menemukan pola. Akan tetapi, pada banyak kasus, pola pada barisan tertentu tidak dapat dilihat secara jelas sehingga kita membutuhkan metode lain dalam menentukan rumus eksplisit tersebut. Terdapat berbagai macam metode yang dapat digunakan untuk menentukan rumus eksplisit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif. Metode yang dijelaskan pada pembahasan ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan rumus eksplisit dari barisan Fibonacci dan barisan-barisan sejenis lainnya.

Definisi
Relasi rekursif homogen linear berderajat dua dengan koefisien konstanta merupakan relasi rekursif yang memiliki bentuk,
Definisi I
untuk setiap bilangan bulat k ≥ bilangan bulat tertentu, di mana A dan B merupakan suatu konstanta bilangan real, dengan B ≠ 0.

Relasi rekursif tersebut dikatakan “berderajat dua” karena ak dinyatakan dalam dua suku sebelumnya, ak – 1 dan ak – 2, dikatakan “linear” karena ak – 1 dan ak – 2 muncul pada suku yang berbeda dan masing-masing memiliki pangkat satu, dikatakan “homogen” karena total derajat dari masing-masing sukunya sama (sehingga tidak ada suku konstanta), dan “koefisien konstanta” karena A dan B merupakan suatu konstanta yang tidak bergantung terhadap k.

Gambar Fitur

Contoh 1: Relasi Rekursif Homogen Linear Berderajat Dua dengan Koefisien Konstanta

Nyatakan apakah masing-masing relasi rekursif berikut merupakan relasi rekursif homogen linear berderajat dua dengan koefisien konstanta atau bukan:

  1. ak = (–4)ak – 1 + (k + 1)ak – 2
  2. bk = bk – 1 + bk – 2
  3. ck = (ck – 1)2 + ck – 1ck – 2
  4. dk = dk – 1 + dk – 2 + dk – 3
  5. ek = 2ek – 2
  6. fk = 2fk – 1 + 3fk – 2 – 5

Pembahasan Kita dapat mengidentifikasi relasi-relasi rekursif tersebut dengan menggunakan definisi di atas.

  1. Bukan; koefisiennya bukan konstanta.
  2. Iya; A = 1 = B.
  3. Bukan; tidak linear.
  4. Bukan; tidak berderajat dua.
  5. Iya; A = 0 dan B = 2.
  6. Bukan; tidak homogen.
Dipublikasi di Matematika Diskrit, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , | Tinggalkan komentar