Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Pembuktian Teorema: RAA (Reductio Ad Absurdum)

Seperti yang telah diketahui, semua torema dalam matematika merupakan pernyataan kondisional, yang memiliki bentuk

Jika [hipotesis] maka [kesimpulan].

Akan tetapi dalam beberapa kasus, suatu teorema hanya menyatakan kesimpulannya; atau dengan kata lain, hipotesis dari teorema tersebut tidak dinyatakan secara eksplisit. Jika teorema tersebut tidak dinyatakan dalam bentuk kondisional, kita tetap dapat mengubahnya ke dalam bentuk kondisional. Sebagai contoh,

Sudut-sudut alas dalam segitiga sama kaki kongruen.

Teorema tersebut dapat diinterpretasikan sebagai berikut.

Jika suatu segitiga memiliki dua sisi yang kongruen, maka sudut-sudut yang menghadap kedua sisi tersebut kongruen.

Suatu pernyataan kondisional menyatakan bahwa satu kondisi (hipotesis) menyebabkan hal lainnya (kesimpulan). Jika kita menotasikan hipotesis dengan H, kesimpulan dengan K, dan kata “menyebabkan” dengan tanda panah ⇒, maka setiap teorema dapat dituliskan dalam bentuk H ⇒ K. Dalam contoh di atas, H adalah “dua sisi suatu segitiga kongruen” dan K menyatakan “sudut-sudut yang menghadap dua sisi tersebut kongruen.”

Ilustrasi Teorema

Akan tetapi tidak semua pernyataan kondisional merupakan suatu teorema. Sebagai contoh, pernyataan berikut.

Jika segitiga ABC merupakan segitiga sembarang, maka segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki.

Pernyataan di atas bukan merupakan suatu teorema, karena teorema merupakan suatu pernyataan yang terbukti benar. Kita dapat membuktikan pernyataan di atas salah dengan menunjukkan terdapat segitiga yang bukan merupakan segitiga sama kaki, misalkan segitiga yang berukuran 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Seperti yang dikatakan sebelumnya, teorema merupakan pernyataan yang terbukti kebenarannya. Sehingga bukti dari suatu teorema diperlukan di sini. Salah satu teknik membuktikan teorema adalah dengan reductio ad absurdum, atau disingkat RAA.

Untuk membuktikan suatu pernyataan kondisional dengan RAA, kita memulainya dengan mengandaikan bahwa kesimpulan yang akan kita buktikan adalah salah. Kita sebut pengandaian tersebut sebagai hipotesis RAA, untuk membedakannya dengan hipotesis H. Hipotesis RAA tersebut merupakan hipotesis sementara yang kita gunakan untuk menurunkan suatu pernyataan yang absurd (maksud dari “absurd” di sini adalah bertentangan dengan sesuatu yang telah diketahui valid). Pernyataan tersebut bisa bertentangan dengan suatu aksioma, teorema ataupun hipotesis RAA. Sehingga, karena pengandaian negasi C mengarah ke pernyataan yang tidak benar, maka C haruslah benar. Hal ini disebut sebagai kesimpulan RAA.

Untuk membuktikan pernyataan H ⇒ C, andaikan negasi dari C bernilai benar (hipotesis RAA) dan deduksi suatu pernyataan yang absurd, dengan menggunakan hipotesis H (jika perlu) dari pernyataan tersebut.

Selanjuntya, mari kita mengilustrasikan aturan tersebut dengan membuktikan proposisi berikut.

Proposisi: Jika l dan m adalah garis-garis yang berbeda dan tidak sejajar, maka l dan m memiliki titik potong yang tunggal.

Bukti:

  1. Karena l dan m tidak sejajar, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong (berdasarkan definisi kesejajaran).
  2. Karena kita ingin membuktikan ketunggalan dari titik potong tersebut, kita andaikan sebaliknya, yaitu garis-garis l dan m memiliki dua titik potong yang berbeda, A dan B (hipotesis RAA).
  3. Sehingga terdapat lebih dari dua garis yang melalui A dan B (berdasarkan langkah 2 dan hipotesis teorema, lm).
  4. A dan B dihubungkan oleh tepat satu garis (Postulat Euclid I)
  5. Titik potong dari l dan m haruslah tunggal (3 bertentangan dengan 4, kesimpulan RAA).

Sebagai ilustrasi lainnya, kita akan mencoba untuk membuktikan bahwa untuk sembarang segitiga sama kaki siku-siku ABC, panjang sisi miringnya adalah bilangan irasional. Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita dapat memilih segitiga ABC sama kaki siku-siku di C dan panjang kedua kakinya 1 satuan panjang. Sehingga, dengan menggunakan Teorema Pythagoras kita dapat menentukan panjang dari sisi miringnya adalah √2. Sehingga kita harus membuktikan bahwa √2 merupakan bilangan irasional, atau tidak rasional.

Segitiga Siku-siku

Apa itu bilangan rasional? Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Perhatikan ilustrasi berikut.

Proposisi: √2 merupakan bilangan irasional.

Bukti: Pertama kita andaikan sebaliknya, yaitu √2 merupakan bilangan rasional (hipotesis RAA). Dengan kata lain, kita dapat menuliskan √2 = a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan tidak mengurangi perumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa a/b adalah bentuk paling sederhana dari pecahan, sehingga a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan b kemudian mengkuadratkan kedua ruas kita memperoleh 2b² = a². Dari sini, kita mendapatkan bahwa a² merupakan suatu bilangan genap, yang mengakibatkan a juga bilangan genap (jika a bilangan gasal, a = 2m – 1, maka a² = 2(2m² – 2m + 1) – 1 juga merupakan bilangan gasal). Karena a bilangan genap, maka a dapat dituliskan sebagai a = 2p untuk suatu bilangan bulat p. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan tersebut kita peroleh a² = 4p². Dengan mensubstitusikan a² = 2b² ke dalam persamaan a² = 4p², kita peroleh b² = 2p². Persamaan ini mengatakan bahwa b² adalah bilangan genap, sehingga b juga bilangan genap.

Dari sini kita menunjukkan bahwa a dan b adalah bilangan genap, yang artinya, kedua bilangan tersebut memiliki 2 sebagai faktor persekutuannya. Hal ini kontradiksi karena kita telah mengasumsikan bahwa a dan b tidak memiliki faktor persekutuan. Jadi, √2 merupakan bilangan irasional (kesimpulan RAA). Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Perguruan Tinggi | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

Sisi Matematis Gelaran Piala Dunia 2014

Gelaran Piala Dunia 2014 atau FIFA World Cup™ 2014 yang dibuka oleh pertandingan antara tuan rumah Brasil dan Kroasia, menyisakan banyak cerita sebelum laga final yang mempertemukan wakil benua biru, Jerman, dan wakil dari Amerika Latin, Argentina. Dari sekian banyak kejadian yang terjadi pada gelaran sepak bola terbesar sejagad tersebut, pada pembahasan ini kita mencoba untuk mendiskusikan beberapa sisi matematis yang dapat digali dari turnamen tersebut. Pertama, mari kita bahas turnamen tersebut dari sisi matematika diskret.

Brasil vs Kroasia

Matematika Diskret

Piala Dunia 2014 diikuti oleh 32 negara yang dibagi ke dalam delapan grup, grup A – H, yang masing-masing grup terdiri 4 negara. Dalam babak grup ini masing-masing negara hanya bertanding dengan lawannya cuma satu kali, atau biasa disebut sebagai format setengah kompetisi, tidak ada kandang-tandang. Sehingga, pada masing-masing grup terjadi kombinasi 2 dari 4 pertandingan, yaitu

C(2,4)

Sehingga, pada masing-masing grup terjadi enam pertandingan. Diperoleh, terdapat total 8 × 6 = 48 pertandingan pada fase grup.

Setelah fase grup, juara dan runner-up masing-masing grup berhak untuk melaju ke babak 16 besar atau sering disebut perdelapan final. Karena masing-masing grup terdiri dari empat negara dan yang berhak lolos ke babak selanjutnya hanya dua grup, maka terdapat berbagai macam skenario yang bisa terjadi. Berapa skenario yang mungkin bisa terjadi? Sebagai contoh, mari kita analisis grup neraka dari piala dunia 2014, yaitu grup D yang terdiri dari Kosta Rika, Uruguay, Italia, dan Inggris.

Grup D

Dari tabel di atas, banyaknya skenario yang bisa terjadi dapat ditentukan dengan mengubah nilai M (menang), S (seri), dan K (kalah) pada elemen-elemen tabel di atas diagonal. Karena masing-masing elemen memiliki tiga kemungkinan, yaitu M, S, K, dan total terdapat enam elemen yang berada di atas diagonal, maka dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya skenario yang mungkin terjadi adalah

Skenario Grup

Jadi, terdapat 729 skenario yang mungkin bisa terjadi untuk menghasilkan juara dan runner-up grup yang berhak untuk melaju ke fase enam belas besar.

Selanjutnya, mungkin kita bertanya-tanya. Berapakah banyaknya semua kemungkinan negara-negara yang bisa menjadi juara dan runner-up pada masing-masing grup. Karena kemungkinan ini memperhatikan urutan maka kita gunakan permutasi dalam menghitung permasalahan tersebut. Mengapa urutan diperhatikan? Karena untuk kasus juara grup dan runner-up pada grup D secara berturut-turut adalah Kosta Rika dan Uruguay, akan berbeda jika urutannya dibalik, yaitu juaranya Uruguay sedangkan Kosta Rika sebagai runner-up. Sehingga, banyaknya kemungkinan mengambil juara dan runner-up grup adalah

P(2,4)

Sekarang, mari kita hitung banyaknya cara mengurutkan tim pada masing-masing grup. Untuk masalah ini kita gunakan permutasi lagi. Karena masing-masing grup terdapat empat tim dan yang akan diurutkan adalah empat tim tersebut, maka banyaknya kemungkinannya adalah,

P(4,4)

Yang menarik adalah bahwa banyaknya kemungkinan untuk mengurutkan tim lebih kecil dari banyaknya skenario yang bisa terjadi dalam grup. Mengapa? Karena setiap kemungkinan dalam mengurutkan tim memiliki skenario yang bermacam-macam. Sebagai contoh, berikut ini merupakan dua skenario berbeda yang menyebabkan Kosta Rika, Uruguay, Italia, dan Inggris secara berturut-turut menjadi juara 1, 2, 3, dan 4 grup D.

Tabel 2

Pada skenario pertama, Kosta Rika, Uruguay, Italia, dan Inggris secara berturut-turut memiliki poin 7, 6, 4, dan 0. Sedangkan pada skenario kedua, nilai dari keempat negara tersebut secara berturut-turut adalah 7, 5, 4, dan 0. Dari kedua contoh skenario tersebut menghasilkan urutan yang sama, yaitu Kosta Rika sebagai juara grup, Uruguay sebagai runner-up, dan Italia serta Inggris yang menjadi juara 3 dan 4 dari grup D.

Pada babak enam belas besar, terdapat enam belas negara yang dipertandingkan. Sehingga dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa pada babak ini akan menciptakan delapan pertandingan dan menghasilkan delapan tim yang berhak melaju ke delapan besar (perempat final). Berapakah banyaknya kemungkinan negara-negara yang berhak melaju ke babak perempat final?

Perhatikan bahwa setiap pasang tim dalam satu pertandingan akan menghasilkan satu pemenang. Karena terdapat total delapan pertandingan pada babak ini, maka banyaknya kemungkinan yang bisa terjadi adalah,

Delapan Besar

Delapan tim yang menang pada babak perdelapan final akan bertemu di babak selanjutnya, yaitu babak perempat final, yang menyajikan empat pertandingan. Sehingga banyaknya cara mengambil empat tim untuk lolos ke babak selanjutnya adalah

Empat Besar

Setelah sampai ke semifinal, empat tim akan bertanding untuk memperebutkan partai puncak/final. Atau dengan kata lain, dari keempat tim yang masuk ke semifinal, hanya dua timlah yang berhak ke final piala dunia. Sehingga terdapat 2² = 4 kemungkinan. Seperti kita ketahui, negara-negara yang masuk ke semi final piala dunia 2014 adalah Brasil, Jerman, Argentina, dan Belanda, dengan Brasil bertanding melawan Jerman, dan Argentina melawan negeri kincir angin, Belanda. Keempat kemungkinan negara-negara yang bisa masuk ke partai final adalah Brasil dan Argentina, Brasil dan Belanda, Jerman dan Argentina, serta Jerman dan Belanda. Dan pada kenyataannya, kemungkinan ketigalah yang terjadi di Piala Dunia 2014.

Road to Final

Setelah dua pertandingan semifinal, terdapat dua pertandingan lagi. Kedua pertandingan tersebut adalah perebutan tempat ketiga dan pertandingan final. Sehingga, dalam gelaran Piala Dunia 2014, terdapat total 48 + 8 + 4 + 2 + 2 = 64 pertandingan, mulai dari penyisihan grup sampai partai puncak.

Dipublikasi di Kelas X, Matematika Diskrit, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Berikut ini soal beserta pembahasan dari TKPA (Tes Kemampuan dan Potensi Akademik) mata uji matematika dasar SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2014.

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA, Perguruan Tinggi, Portofolio | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

Soal SBMPTN 2014

Berikut ini adalah soal TKPA (Tes Kemampuan dan Potensi Akademik) dan TKD Soshum (Tes Kemampuan Dasar Sosial dan Humaniora) SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2014. Soal-soal TKPA terdiri dari 15 soal matematika dasar, 15 soal Bahasa Indonesia, 15 soal Bahasa Inggris, 15 soal verbal, 15 soal numerikal, dan 15 soal figural. Sedangkan soal-soal TKD Soshum terdiri dari 60 soal yang dibagi sama rata oleh mata uji sejarah, geografi, sosiologi, dan ekonomi.

Soal TKPA

Soal TKD Soshum

Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Uncategorized | Tag , , , , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

5 Soal dan Pembahasan Penerapan Parabola Analitis

Parabola analitis sering diterapkan dalam berbagai macam bidang. Di antaranya adalah penentuan posisi fokus dalam antena penerima gelombang radio, lampu mobil, lampu senter, dan panel surya.

This slideshow requires JavaScript.

Soal 1: Menentukan Fokus dari Piringan Antena

Gambar di bawah menunjukkan penampang dari piringan antena radio. Seorang teknisi telah menempatkan suatu titik pada penampang antena yang terletak 0,75 meter di atas dan 6 meter di kanan dari titik pusatnya. Pada koordinat mana seharusnya teknisi tersebut menempatkan fokus antena tersebut?

Soal 1

Pembahasan Berdasarkan gambar di atas, kita tahu bahwa parabola di atas merupakan suatu parabola vertikal dengan titik pusat (0, 0). Hal ini berarti bahwa persamaan dari parabola tersebut haruslah berbentuk x² = 4py. Karena titik (6, 0,75) terletak pada grafik, maka kita dapat mensubstitusi titik tersebut ke dalam persamaan dan menyelesaikan nilai p:

Soal 1 Menentukan p

Karena diperoleh p = 12, maka fokus dari parabola tersebut terletak di koordinat (0, 12). Atau dengan kata lain, fokus dari parabola tersebut seharusnya ditempatkan 12 meter di atas titik pusatnya.

Soal 2: Menggambar Lampu Mobil Parabolis

Penampang dari reflektor lampu mobil tertentu dapat dimodelkan oleh suatu persamaan 25x = 16y², dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 4. Gunakan informasi yang diberikan untuk menggambarkan grafiknya dengan domain yang diberikan.

Pembahasan Persamaan 25x = 16y² merupakan persamaan dari parabola horizontal yang memiliki titik pusat di (0, 0). Selanjutnya kita tentukan nilai p dari parabola tersebut.

Soal 2 Menentukan p

Sehingga kita peroleh p = 25/64 (p > 0), yang artinya grafik dari parabola tersebut terbuka ke kanan. Selanjutnya kita tentukan dua titik selain titik (0, 0) yang dilalui oleh grafik parabola tersebut. Karena domainnya memiliki batas kanan di 4, kita tentukan dua titik pada parabola yang memiliki absis 4.

Soal 2 Titik Alternatif

Diperoleh dua titik tersebut adalah (4, 1,25) dan (4, –1,25). Dengan menggunakan tiga titik (0, 0), (4, 1,25), dan (4, –1,25), kita dapat menggambarkan grafik dari parabola tersebut.

Soal 2 Grafik

Soal 3: Menggambar Lampu Senter Parabolis

Penampang dari reflektor suatu lampu senter dapat dimodelkan dengan persamaan 4x = y², dengan x dan y dalam cm dan x bilangan real dari 0 sampai 2,25. Gambarlah grafik dari penampang reflektor tersebut dengan domain yang diberikan.

Pembahasan Persamaan 4x = y² merupakan persamaan suatu parabola horizontal yang berpusat di (0, 0). Dari persamaan tersebut kita ketahui p = 1 (p > 0), sehingga parabola tersebut terbuka ke kanan. Karena domainnya adalah bilangan real mulai 0 sampai 2,25, selanjutnya kita tentukan dua titik lain yang dilalui oleh parabola dan memiliki absis 2,25.

Soal 3 Titik Alternatif

Sehingga dua titik lainnya yang dilalui oleh parabola tersebut adalah (2,25, 3) dan (2,25, –3). Sehingga, grafik dari penampang reflektor yang dimaksud dapat digambarkan sebagai berikut.

Soal 3 Grafik

Dipublikasi di Kelas X, Materi SMA | Tag , , , | Tinggalkan komentar