Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Teknik Integral: Substitusi Trigonometri

Ada dua hal yang akan kita diskusikan dalam pembahasan ini. Pertama, kita akan mendiskusikan bagaimana penggunaan substitusi trigonometri dalam menyelesaikan permasalahan integral. Kedua, kita akan juga membahas penggunaan integral dalam memodelkan dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar

Bentuk Akar

Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras

Sebagai contoh, jika a > 0, misalkan u = a sin θ, dengan –π/2 < θ < π/2. Maka

Contoh

Perhatikan bahwa cos θ ≥ 0, karena –π/2 < θ < π/2.

Substitusi Trigonometri

  1. Untuk integral yang memuat √(a² – u²), misalkan u = a sin θ. Maka, didapatkan √(a² – u²) = a cos θ, di mana –π/2 < θ < π/2.
    Segitiga 1
  2. Untuk integral yang memuat √(a² + u²), misalkan u = a tan θ.
    Maka, √(a² + u²) = a sec θ, dengan –π/2 < θ < π/2.
    Segitiga 2
  3. Untuk integral yang memuat √(u² – a²), misalkan u = a sec θ. Maka,
    Substitusi Trigonometri 3
    Segitiga 3

Catatan Batasan dari θ memastikan bahwa fungsi pada substitusi tersebut merupakan fungsi satu-satu. Faktanya, batasan tersebut merupakan interval yang sama di mana arcsinus, arctangen, dan arcsecan didefinisikan.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XII, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Integral Trigonometri

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk menyelesaikan integral-integral yang memiliki bentuk

Bentuk Integral

di mana m dan n adalah bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentuk-bentuk tersebut, pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.

Sebagai contoh, kita dapat menyelesaikan integral berikut dengan memisalkan u = sin x. Sehingga, du = cos x dx dan diperoleh,

Contoh

Untuk menyelesaikan integral-integral trigonometri, gunakan identitas-identitas berikut agar kita dapat menggunakan Aturan Perpangkatan.

Identitas sin-cos


Panduan untuk Menyelesaikan Integral yang Memuat Perpangkatan Sinus dan Cosinus

  1. Jika pangkat dari sinus adalah bilangan ganjil dan positif, simpan satu faktor sinus tersebut dan ubahlah faktor sisanya menjadi cosinus. Kemudian, ekspansi dan integralkan.
    Panduan sin-cos 1
  2. Jika pangkat dari cosinus adalah bilangan ganjil dan positif, simpan satu faktor cosinus tersebut dan ubahlah faktor sisanya menjadi sinus. Kemudian, ekspansi dan integralkan.
    Panduan sin-cos 2
  3. Jika pangkat dari sinus dan cosinus keduanya genap dan tidak negatif, gunakan secara berulang identitas berikut,
    Panduan sin-cos 3
    untuk mengubah integran menjadi perpangkatan ganjil dari cosinus. Kemudian lanjutkan sesuai panduan nomor 2.

Contoh 1: Pangkat dari Sinus Ganjil dan Positif

Tentukan,

Contoh 1

Pembahasan Karena kita berharap untuk menggunakan Aturan Perpangkatan dengan u = cos x, maka simpan satu faktor sinus untuk membentuk du dan ubah faktor-faktor sinus sisanya menjadi cosinus.

Contoh 1 Pembahasan

Pada Contoh 1 di atas, pangkat m dan n keduanya merupakan bilangan bulat positif. Bagaimanapun, teknik yang sama dapat digunakan selama salah satu dari m atau n merupakan bilangan ganjil dan positif. Sebagai contoh, pada contoh selanjutnya pangkat dari cosinusnya 3, sedangkan pangkat dari sinusnya –1/2.

Contoh 2: Pangkat dari Cosinus Ganjil dan Positif

Tentukan,

Contoh 2

Pembahasan Karena kita akan menggunakan Aturan Perpangkatan dengan u = sin x, maka simpan satu faktor cosinus untuk membentuk du dan ubah faktor-faktor cosinus sisanya menjadi sinus.

Contoh 2 Pembahasan

Gambar di bawah ini menunjukkan daerah yang luasnya direpresentasikan oleh integral tersebut.

Contoh 2 Grafik

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XII, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , | Tinggalkan komentar

10+ Soal dan Pembahasan Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

Pada pembahasan ini kita akan berlatih menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Dua bangun datar atau lebih dikatakan sebangun jika panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun datar tersebut memiliki perbandingan yang senilai. Selain itu, jika sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun datar tersebut sama besar maka bangun-bangun datar tersebut juga sebangun. Dan lebih khusus lagi, jika bangun-bangun datar tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka bangun-bangun datar tersebut dapat dikatakan kongruen. Untuk lebih memahami mengenai kesebangunan dan kekongruenan bangun datar, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1: Kesebangunan Dua Persegi Panjang

Psersegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar secara berturut-turut 13 cm dan 39 cm. Jika persegi panjang ABCD tersebut sebangun dengan persegi panjang KLMN, yang sisi terpanjangnya memiliki ukuran 24 cm, tentukan panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN.

Pembahasan Persegi panjang ABCD dan KLMN dapat digambarkan sebagai berikut.

Soal 1

Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan KLMN, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang tersebut merupakan perbandingan yang senilai. Sehingga,

Soal 1 LM

Jadi, panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN adalah 8 cm.

Contoh 2: Kesebangunan pada Persegi Panjang

Perhatikan gambar di bawah ini!

Soal 2

Jika diketahui AB = 144 cm dan BC = 108 cm, persegi panjang ABCD, BCGF, dan EHGD merupakan persegi panjang-persegi panjang yang sebangun, tentukan luas daerah AFHE!

Pembahasan Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang BCGF, maka

Soal 2 CG

Karena CD = AB = 144 cm dan CG = 81 cm, maka EH = GD = CD – CG = 144 – 81 = 63 cm. Diketahui ABCD juga sebangun dengan EHGD, maka didapatkan

Soal 2 HG

Sehingga, FH = FG – HG = BC – HG = 108 – 47,75 = 60,25 cm. Diperoleh luas dari segi empat AFHE adalah EH × FH = 63 × 60,25 = 3.795,75 cm².

Dipublikasi di Kelas IX, Materi SMP | Tag , , , , , , , , , , , , , , , , | 4 Komentar

Integral Parsial, Soal, dan Pembahasannya

Pada pembahasan ini kita akan berlatih menemukan antiturunan dengan menggunakan integral parsial. Selain itu, di bagian akhir pembahasan ini, kita juga akan menggunakan metode tabulasi dalam melakukan proses integral parsial tersebut. Teknik integral parsial dapat diterapkan dalam berbagai macam fungsi, dan secara khusus teknik tersebut sangat berguna ketika dijumpai integran yang melibatkan perkalian fungsi-fungsi aljabar dan transendental. Sebagai contoh, integral parsial akan sangat berfungsi dengan baik untuk menyelesaikan,

Contoh Integral

Integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

Turunan Perkalian

di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dalam x. Jika u’ dan v’ kontinu, kita dapat mengintegralkan kedua ruas dari persamaan di atas dan memperoleh

Asal Integral Parsial

Dengan menulis kembali persamaan di atas, diperoleh teorema berikut.

Teorema 1: Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka
Teorema Integral Parsial

Rumus integral parsial ini menyatakan integral aslinya ke dalam bentuk integral yang lain. Berdasarkan pemilihan u dan dv, akan lebih mudah menyelesaikan bentuk integral yang kedua daripada bentuk aslinya. Karena pemilihan u dan dv sangatlah krusial dalam proses integral parsial, berikut ini panduan dalam memilih u dan dv.

Integral Parsial Art


Panduan dalam Proses Integral Parsial

  1. Cobalah untuk memisalkan dv sebagai bagian yang sangat rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral. Sehingga u merupakan faktor lainnya dari integran.
  2. Cobalah untuk memisalkan u sebagai bagian dari integran yang turunannya lebih sederhana dari u. Selanjutnya dv merupakan faktor integral lainnya.

Perhatikan bahwa dv selalu memuat dx dari integran aslinya.


Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan permasalahan integral dengan menggunakan metode integral parsial, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1: Integral Parsial

Tentukan,

Contoh 1

Pembahasan Untuk menerapkan integral parsial, kita perlu untuk menuliskan integral tersebut ke dalam

Contoh 1 Bentuk Parsial

Terdapat beberapa cara untuk melakukan hal tersebut, yaitu

Contoh 1 Kemungkinan

Panduan dalam pemilihan u dan dv sebelumnya menyarankan kita untuk memilih pilihan pertama karena turunan dari u = x lebih sederhana dari x, dan dv = ex merupakan bagian yang paling rumit dari integran yang sesuai dengan aturan dasar integral.

Contoh 1 u dv

Sekarang, dengan integral parsial akan dihasilkan

Contoh 1 Integrasi

Untuk memeriksa hasil pengintegralan ini, kita dapat menurunkan hasil tersebut untuk mendapatkan integran aslinya.

Catatan Pada contoh 1 di atas kita tidak perlu menuliskan konstanta ketika menyelesaikan

Contoh 1 Keterangan

Untuk mengilustrasikan hal ini, cobalah mengganti v = ex dengan v = ex + C1 kemudian terapkan proses integral parsial untuk melihat bahwa kamu akan mendapatkan hasil yang sama.

Dipublikasi di Kalkulus, Kelas XII, Materi SMA, Perguruan Tinggi | Tag , , , , , , , , , | 1 Komentar

Olimpiade Matematika Universitas Negeri Malang 2014

Olimpiade Vektor 2014Bagi adik-adik SD, SMP, dan SMA yang berkeinginan untuk ikut ambil bagian dalam olimpiade matematika yang diselenggarakan oleh Universitas Negeri Malang (UM), silahkan baca pengumuman lengkapnya di website Himatika Vektor. Olimpiade nasional ini diselenggarakan di 33 rayon di Indonesia, sehingga adik-adik dapat daftar secara langsung di masing-masing rayon yang ditunjuk pada tanggal 14 Juli sampai 22 September 2014. Selain itu, adik-adik juga dapat daftar secara online dengan mengakses website resminya pada tanggal 14 Juli sampai 20 September 2014. Berikut ini pamflet dari olimpiade matematika nasional tersebut.

Pamflet OMVN 2014

Selamat berkompetisi, yos3prens.

Dipublikasi di Berita yos3prens | Tag , , , | Tinggalkan komentar