Mepelin 8 Enterprise


Screenshot (1)

Terinstall di komputer Anda.
Jangan membuang-buang waktu Anda untuk memasukkan CD ke komputer untuk memainkan Mepelin 8. Cukup arahkan ke desktop, dan mainkan. Membuat efisien semua waktu Anda.

Mengerti Kemauan Anda.
Menu yang elegan dan menekankan kesederhanaan, seakan tahu apa yang akan Anda lakukan untuk Mepelin 8. Cukup klik pilihan menu fantastis di setiap bagian di media ini, dan ya, itu yang Anda inginkan.

Screenshot (2)

Membuatnya menjadi nyata.
Simulasi dan aktivitas pengguna. Kedua hal itulah yang paling ditekankan oleh Mepelin 8. Media ini dapat mensimulasikan aktivitas seperti apa yang seharusnya dilakukan oleh audiens.

Kontekstual & berkarakter.
Dan yang paling penting, Mepelin 8 menyajikan materi yang kontekstual & berkarakter bagi siswa SMP. Pramuka, tema yang dipilih, membuat materi lingkaran semakin menarik.


Dan akhirnya, surprise yourself!
Dapatkan pengalaman fantastis lainnya dengan menggunakan Mepelin 8 Enterprise dalam pembelajaran lingkaran. Hubungi 085 258 372 883 untuk order Mepelin 8.

Dipublikasi di Berita yos3prens, Media Pembelajaran, Perangkat Pembelajaran, Software Pendidikan | Tag , , , , | 1 Komentar

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Determinan dan Aturan Cramer

Selain untuk mengidentifikasi matriks singular, determinan juga dapat digunakan untuk membangun rumus dalam menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear. Sekarang mari kita bandingkan sistem umum yang berukuran 2 × 2, dan sistem khusus yang juga berukuran 2 × 2 berikut ini. Untuk menuju suatu solusi yang memuat determinan, koefisien dari x kita tuliskan sebagai a11 dan a21, sedangkan koefisien y kita tuliskan sebagai a12 dan a22.

Sistem Khusus dan Umum

Perhatikan bahwa jumlah dari suku-x di kedua sistem adalah nol. Penulisan solusi di sebelah kiri memang dibiarkan tidak sederhana agar kita dapat membandingkan pola yang dibangun untuk sistem umum yang terletak di sebelah kanannya. Selanjutnya kita akan menyelesaikannya untuk mendapatkan nilai y.

Faktorkan y

Di sebelah kiri kita menemukan y = –7/–7 = 1 dan dengan melakukan substitusi-balik kita mendapatkan x = 2. Tetapi yang lebih penting, di sebelah kanan kita mendapatkan suatu rumus untuk menentukan nilai y:

y

Apabila dari awal kita memilih untuk menyelesaikan x, maka kita akan mendapatkan

x

Perhatikan bahwa rumus-rumus tersebut akan terdefinisi jika a11a22a21a12 ≠ 0. Selain itu, penyebut dari solusi tersebut merupakan determinan dari matriks koefisien

Matriks Koefisien

Karena pembilangnya juga merupakan selisih dari perkalian, kita dapat menyelidiki kemungkinan bahwa nilai dalam pembilang tersebut juga dapat dituliskan sebagai determinan. Kita dapat menuliskan kembali pembilang untuk nilai x sebagai determinan dari matriks

Matriks x

yang apabila diperhatikan, matriks tersebut terbentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel x dengan suku-suku konstantanya.

Memebentuk Dx

Hal ini juga terjadi pada pembilang dari y, yang juga dapat diganti dengan determinan yang memiliki bentuk

Dy

atau suatu determinan dari matriks yang dibentuk dengan mengganti koefisien dari variabel-variabel y dengan suku-suku konstanta.

Membentuk Dy

Apabila kita menggunakan notasi Dy untuk determinan tersebut, Dx untuk determinan dimana koefisien-koefisien x diganti dengan konstanta, dan D sebagai determinan dari matriks koefisien—solusi dari sistem yang diberikan dapat ditentukan dengan rumus di halaman berikutnya, yang disebut sebagai aturan Cramer.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Determinan dan Matriks Singular

Pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal. Berikut ini adalah beberapa kompetensi yang akan kita pelajari.

  1. Menentukan determinan matriks 2 × 2.
  2. Menjelaskan pengertian matriks singular.
  3. Menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode ekspansi minor.
  4. Menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode rotasi kolom.
  5. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan persamaan matriks.
  6. Menyelesaikan penerapan sistem persamaan linear yang memuat matriks 4 × 4.

Untuk kepentingan praktis, penting untuk mengetahui apakah suatu matriks memiliki invers atau tidak. Untuk itu, kita akan mendiskusikan satu operasi tambahan pada matriks persegi, yang disebut determinan. Untuk matriks 1 × 1 determinannya adalah elemennya itu sendiri. Untuk matriks 2 × 2,

A

determinan dari A, ditulis sebagai det(A) atau dinotasikan dengan garis-garis vertikal |A|, dapat dihitung sebagai selisih dari perkalian diagonal-diagonalnya, dimulai dengan elemen-elemen pada diagonal kiri-atas:

Determinan 2 x 2

Determinan Matriks 2 × 2
Diberikan sebarang matriks 2 × 2,
A2
det(A) = |A| = a11a22 – a21a12.

Contoh 1: Menghitung Determinan

Hitunglah determinan dari masing-masing matriks yang diberikan.

Contoh 1

Pembahasan Matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2 × 2, sehingga

Contoh 1 det(B)

Sedangkan matriks C bukan matriks persegi, padahal determinan suatu matriks didefinisikan hanya untuk matriks persegi, sehingga C tidak memiliki determinan. Selanjutnya, determinan dari matriks persegi D adalah sebagai berikut.

Contoh 1 det(D)

Perhatikan bahwa determinan dari matriks D adalah nol dan matriks ini sama dengan matriks yang telah kita selidiki sebelumnya bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers. Hal ini dapat kita gunakan untuk matriks yang lebih besar dan memberikan hubungan antara suatu matriks, inversnya, dan persamaan matriks.

Matriks Singular
Jika A adalah matriks persegi dan det(A) = 0, maka invers dari matriks tersebut tidak ada dan A dikatakan sebagai singular atau non-invertibel.

Secara singkat, invers hanya ada untuk matriks persegi, tetapi tidak semua matriks persegi memiliki invers. Jika determinan dari suatu matriks persegi sama dengan nol, maka invers dari matriks tersebut tidak ada dan metode persamaan matriks tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , , , , , , , , | Tinggalkan komentar

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Salah satu alasan mengapa perkalian matriks didefinisikan sebagai jumlah dari baris × kolom adalah untuk membantu penulisan sistem persamaan linear sebagai satu persamaan matriks. Persamaan tersebut terdiri dari matriks konstanta B di ruas kanan, dan perkalian dari matriks koefisien A dan matriks variabel X di ruas kiri. Untuk sistem persamaan linear berikut:

SPLTV

persamaan matriksnya adalah,

Persamaan Matriks

Perhatikan bahwa dengan menghitung perkalian matriks di ruas kiri akan menghasilkan sistem persamaan linear seperti yang di awal.

Setelah ditulis ke dalam persamaan matriks, sistem tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers dan langkah-langkah berikut ini. Jika A merepresentasikan matriks koefisien, X sebagai matriks variabel, B sebagai matriks konstanta, dan I sebagai matriks identitas, maka langkah-langkah tersebut adalah sebagai berikut.

Metode Persamaan Matriks

Baris pertama sampai kelima mengilustrasikan langkah-langkah bagaimana metode untuk menyelesaikan persamaan matriks. Dalam latihan yang sebenarnya, setelah menuliskan matriks-matriks dengan teliti, hanya langkah 5 yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks. Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan sistem persaman linear dengan menggunakan persamaan matriks, perhatikan Contoh 1 berikut.

Contoh 1: Menggunakan Ms. Excel untuk Menyelesaikan Persamaan Matriks

Gunakan Ms. Excel dan persamaan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut.

Contoh 1

Pembahasan Seperti yang dibahas sebelumnya, sistem tersebut dapat dituliskan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut.

Contoh 1 Persamaan Matriks

Sehingga dengan bantuan Ms. Excel kita dapat menentukan nilai x, y, dan z pada persamaan matriks di atas.

Contoh 1 X

Proses untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam Ms. Excel dapat dilihat dalam ilustrasi berikut.

Contoh 1 Excel

Yang perlu diingat, “=MINVERSE(array)” dan “=MMULT(array1, array2)” merupakan rumus-rumus dalam Microsoft Excel untuk menentukan invers dan hasil perkalian dari dua matriks.

Sehingga, dari hasil di atas kita mendapatkan selesaian-selesaian dari sistem persamaan linear yang diberikan, yaitu x = 2, y = 3, dan z = 4. Untuk menguji kebenaran dari selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikannya kembali ke sistem.

Contoh 1 Uji Selesaian

Setelah dilakukan pengujian kembali, ternyata x = 2, y = 3, dan z = 4 merupakan selesaian dari sistem persamaan linear yang diberikan.

Metode persamaan matriks tersebut bukan tidak memiliki kelemahan. Perhatikan sistem persamaan linear yang apabila dituliskan ke dalam persamaan matriks sebagai berikut.

Persamaan Matriks 2

Setelah memasukkan elemen-elemen matriks A ke dalam lembar kerja Ms. Excel kemudian menentukan matriks inversnya, kita akan mendapatkan error sebagai berikut.

Error

Untuk menyelidiki permasalahan ini, kita akan mencoba menentukan invers dari matriks A dengan menggunakan rumus invers matriks 2 × 2. Dengan a = 4, b = –10, c = –2, dan d = 5, kita peroleh

Matriks Singular

Karena pembagian oleh nol tidak terdefinisi, maka kita menyimpulkan bahwa matriks A tidak memiliki invers. Suatu matriks yang tidak memiliki invers disebut sebagai matriks singular atau non-invertibel. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan persamaan matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks koefisiennya invertibel. Semoga bermanfaat, yos3prens.

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , , , , , , | 3 Komentar

Invers dari Suatu Matriks

Dari sifat-sifat bilangan real, kita tahu bahwa invers perkalian dari a adalah a–1 = 1/a (a ≠ 0) karena hasil dari aa–1 dan a–1a adalah unsur identitas, yaitu 1. Untuk menunjukkan bahwa terdapat invers yang serupa di dalam matriks, perhatikan matriks persegi A dan sebarang matriks B berikut.

A dan B

Jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka matriks B menjadi kandidat utama invers dari A, yang disimbolkan dengan A–1. Pada Contoh 1 berikut kita akan menentukan matriks B yang memenuhi AB = I.

Contoh 1: Menyelesaikan AB = I untuk Menemukan A–1

Untuk,

Contoh 1

gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan semua elemen dari B.

Pembahasan Dengan mengalikan dua matriks yang berada di ruas kiri, kita mendapatkan

Contoh 1 Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama apabila elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks tersebut sama (ditunjukan dengan elemen yang warnanya sama). Sehingga, kita mendapatkan dua sistem persamaan sebagai berikut.

Contoh 1 Sistem 1

dan,

Contoh 1 Sistem 2

Pertama, kita selesaikan sistem persamaan yang pertama. Dengan mengalikan satu kepada persamaan pertama dan mengalikan tiga kepada persamaan kedua, kemudian mengurangkannya, kita mendapatkan nilai c sebagai berikut.

Contoh 1 Eliminasi

Dengan mensubstitusi c = –1 ke dalam persamaan 1 kita mendapatkan

Contoh 1 Substitusi

Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem persamaan yang kedua, kita mendapatkan b = –2,5 dan d = 3. Sehingga,

Contoh 1 B

merupakan kandidat utama sebagai invers dari A, atau disimbolkan A–1. Baca lebih lanjut

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , | Tinggalkan komentar

Matriks Identitas pada Operasi Perkalian

Dari sifat bilangan real, 1 merupakan identitas dari operasi perkalian, karena n ∙ 1 = 1 ∙ n = n. Identitas yang serupa juga terdapat dalam perkalian matriks. Perhatikan matriks berordo 2 × 2,

A

Walaupun perkalian matriks secara umum tidak komutatif, jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = A, maka B merupakan kandidat utama untuk menjadi matriks identitas, disimbolkan dengan I. Agar matriks hasil AB dan BA memungkinkan dan memiliki ordo yang sama dengan A, maka matriks B juga harus berordo 2 × 2. Dengan menggunakan sembarang matriks,

B

kita akan menentukan elemen-elemen dari matriks B tersebut pada Contoh 1 berikut ini.

Contoh 1: Menyelesaikan AB = A untuk Menentukan Matriks Identitas

Untuk,

Contoh 1

gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan nilai dari a, b, c, dan d.

Pembahasan Perkalian pada ruas kiri dari persamaan tersebut memberikan,

Contoh 1 Kesamaan

Karena elemen-elemen yang bersesuaian haruslah sama (ditunjukkan dengan warna yang sama), kita dapat menentukan nilai a, b, c, dan d dengan menyelesaikan sistem-sistem berikut.

Contoh 1 Sistem 1

dan,

Contoh 1 Sistem 2

Dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian menjumlahkan kedua persamaan pada sistem pertama, kita mendapatkan

Contoh 1 Eliminasi

Dengan mensubtitusikan c = 0 ke persamaan pertama pada sistem yang pertama, kita mendapatkan

Contoh 1 Substitusi

Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem yang kedua, kita mendapatkan b = 0 dan d = 1. Sehingga matriks,

Contoh 1 Kandidat I

merupakan kandidat untuk menjadi matriks identitas. Baca lebih lanjut

Dipublikasi di Kelas XII, Materi SMA | Tag , , , , | Tinggalkan komentar